パップス＝ギュルダンの定理（パップス＝ギュルダンのていり、）は、幾何学において回転体の表面積および体積を求める際に用いられる2つの定理の総称である。
複雑な積分計算を必要とする回転体の問題を、「元の図形の幾何学的要素（長さまたは面積）」と「その重心が動く距離」の積という簡潔な形に集約できる点に特徴がある。
4世紀にアレクサンドリアのパップスが発見し、17世紀にパウル・ギュルダンによって独立に再発見された。
前提条件 本定理を適用するためには、回転の軸となる直線 と、回転させる対象（曲線または平面図形）が、以下の配置条件を満たしている必要がある。 回転軸 と対象（曲線または平面領域）は同一平面上にある。 回転軸 は、その図形の内部を横切らない（図形の境界線に接する、あるいは完全に離れている場合は適用可能）。
定理の定義
第一定理（表面積） 平面上にある曲線の長さを とし、この曲線と同一平面上にあり、交わらない直線 の回りで曲線を1回転（ ラジアン）させた回転体の表面積（側面積）を とする。曲線の重心 から回転軸 までの距離を としたとき、次式が成り立つ。
これは、（回転体の表面積）＝（曲線の重心が描く軌跡の長さ）×（元の曲線の長さ） を意味する。
第二定理（体積） 平面上にある閉領域（図形）の面積を とし、この図形と同一平面上にあり、交わらない直線 の回りで図形を1回転（ ラジアン）させた回転体の体積を とする。図形の重心 から回転軸 までの距離を としたとき、次式が成り立つ。
これは、（回転体の体積）＝（図形の重心が描く軌跡の長さ）×（元の図形の面積） を意味する。
定理の核心
重心の移動距離による積分相殺 回転体を作る際、回転軸から遠い部分は大きく回転するため広い体積（または面積）を稼ぎ、近い部分は小さく回転するため少しの体積しか稼げない。これらをすべて足し合わせる（積分する）作業は本来複雑である。
しかし数学的には、「遠い部分のプラス効果」と「近い部分のマイナス効果」が完全に相殺される特別な一点が存在する。その点こそが重心である。図形全体をその重心の一点に代表させ、重心が動いた距離（円周の長さ）に対して元の量（長さや面積）を掛け算するだけで、積分を解いたのと同じ正しい結果が導き出される。
線の重心と面の重心の相違 本定理を扱う上で最も注意すべき点は、「線の重心」と「面の重心」の混同である。求める対象が表面積（第一定理）か体積（第二定理）かによって、用いるべき重心の位置（回転軸からの距離 ）は異なる。
例えば、「半径 の半円」において、直径を回転軸とする場合を考える。 第一定理（表面積）：針金を半円形に曲げたような「弧（線）」としての重心 を用いる。回転軸からの距離は、 である。 第二定理（体積）：半円形の平らな板（面）としての重心 を用いる。回転軸からの距離は、 である。 このように、元の図形が同じ半円であっても、線か面かによって重心の座標が異なるため、混同すると計算誤りを引き起こす。
応用例 本定理の有用性を示す代表例として、円を回転させてできるトーラス（円環体）の計算が挙げられる。
半径 の円（面積 、円周の長さ ）を、円の中心から距離 （ただし ）だけ離れた直線 の回りに回転させる。
円は完全に対称な図形であるため、線としての重心も面としての重心も、共に「円の中心」に一致する。したがって、回転軸からの距離は となる。パップス＝ギュルダンの定理を用いることで、複雑な置換積分を経ることなく以下のように求められる。
表面積 （第一定理）
体積 （第二定理）
数学的な証明
第二定理（体積）の証明 平面において、 の領域にある閉領域 を 軸（直線 ）の回りに一回転させる。
微小な面積要素 を考えると、これが 軸の回りに一回転して描く微小な中空円柱の体積 は、半径が 、厚みが と見なせるため、次のように表せる。
これを図形 の全域にわたって重積分すると、全体の体積 は以下のようになる。
ここで、平面図形 の重心の 座標 （回転軸からの距離 ）の定義式は以下の通りである。
これを上の体積の式に代入することで、第二定理が証明される。
第一定理（表面積）についても、微小線要素 に対する線積分を用いることで同様に証明可能である。
歴史的背景 本定理の原型は、4世紀頃のアレクサンドリアの数学者パップスが編纂した『数学集成』（）第7巻に記述が見られる。しかし、この業績は長らく忘却されていた。
17世紀に入り、イエズス会の修道士であり数学者のパウル・ギュルダンが、著書『遠心論』（、1640年刊）において、パップスの記述とは独立にこの関係性を再発見し発表した。
当時、ギュルダンは自身でこの定理の厳密な証明を与えることができなかったため、ボナヴェントゥーラ・カヴァリエーリらから批判を受けることもあったが、のちに微分積分学の発達によって理論的証明が与えられ、現在では両者の功績を称えて「パップス＝ギュルダンの定理」と呼ばれている。
関連項目 回転体 重心 トーラス カヴァリエリの原理 パップスの六角形定理
参考文献
脚注