三角形の円錐曲線

ユークリッド幾何学において、三角形の円錐曲線または三角形の二次曲線（英:Triangle conic）は三角形に定義される、円錐曲線の総称である。たとえば、外接円や内接円、シュタイナー楕円、キーペルト双曲線が挙げられる。ほかに、それぞれの頂点または対辺ごとに定義される、アルツト放物線のようなものもある。

三角形の円錐曲線と言う言葉に、明確な定義は存在せず、文献の中で広く使われている（などを参照）。ギリシャの数学者Paris Pamfilosは「円錐曲線が外接するとは、の頂点3つを通ることであり、円錐曲線が内接するとは3辺に接することである」と述べた。三角形の円、楕円、放物線、双曲線（triangle circle,ellipse,parabola,hyperbola）といった言葉も同様に定義された。

Encyclopedia of Triangle CentersやCatalogue of Triangle Cubicsのような、三角形に対する図形の辞典のようなもので、円錐曲線がまとめられているものは2024年現在、存在しない。

三線座標による式三線座標を用いて任意の円錐曲線は以下の式で表される。うち、外接円錐曲線と内接円錐曲線は以下の式で表すことができる。

特別な三角形の円錐曲線以下に有名な円錐曲線を挙げる。基準となる三角形を、頂点及び角を、その対辺をそれぞれ、とする。また、円錐曲線をあらわす三線座標の変数をとする。

三角形の楕円 +有名な三角形の楕円No.名称定義等式図1シュタイナー外接楕円の頂点を通り、重心を中心に持つ楕円サムネイル|のシュタイナー楕円2シュタイナーの内接楕円各辺と接し、重心を中心にもつ楕円サムネイル|のシュタイナーの内接楕円

三角形の双曲線 +三角形の双曲線No.名称定義等式図形1キーペルト双曲線3つの相似な二等辺三角形, , , を三角形の同じ側に作ったときが交わる点の軌跡サムネイル|のキーペルト双曲線。垂心と重心、頂点を通る。.2ジェラベク双曲線三角形の頂点、垂心、外心を通る双曲線サムネイル|のジェラベク双曲線3フォイエルバッハ双曲線三角形の頂点、垂心、内心を通る円サムネイル|のフォイエルバッハ双曲線

三角形の放物線 +有名な三角形の放物線No.名称定義等式図1アルツト放物線でと接する放物線（他2組についても同様）サムネイル|のアーツ放物線2キーペルト放物線3つの相似な二等辺三角形, , を同じ側に作ったとき、との配景の軸が成す包絡線サムネイル| のキーペルト放物線。の包絡線である。

三角形の円錐曲線の族

ホフスタッター楕円サムネイル|のホフスタッター楕円ホフスタッター楕円（Hofstadter ellipses）はある媒介変数によってあらわされる楕円の集合である。ただしは媒介変数でである。とが表す楕円は等しい。またのとき内接楕円となりとすると外接楕円となる。

トムソン円錐曲線とダルブー円錐曲線トムソン円錐曲線（Thomson Conics）は、各辺との接点を通る、各辺の法線が共点である内接円錐曲線の集合である。ダルブ―円錐曲線（Darboux Conics）は頂点での円錐曲線の法線が共点である外接円錐曲線である。双方の共点は、ダルブ―三次曲線上にある。

平行線との交点により構成される円錐曲線サムネイル|平行線によって構築される円錐曲線と点について、を通るに平行な線と、他2辺との交点をそれぞれとする。この6点は同一円錐曲線上にある。特にが類似重心であるとき円となる。の三線座標をとすると、6点を通る円錐曲線は以下の式で表される。

九点円錐曲線サムネイル|九点円錐曲線

と点について、の中点と、、、の交点の計9点を通る円錐曲線を九点円錐曲線（Nine-point conic）という。が垂心のとき円（九点円）、重心のとき内接楕円（シュタイナーの内接楕円）となる。

イフ円錐曲線サムネイル|イフ円錐曲線媒介辺数を用いて、で表される円錐曲線をイフ円錐曲線（Yff conics）という。任意の点によってはで表される。特に放物線（イフ放物線、Yff parabola）の時はである。

またはのとき楕円、のとき双曲線となる。のときは、座標平面上には表れない。

ラビノヴィッツ円錐曲線サムネイル|ラビノヴィッチ円錐曲線と点について、同じ向きにで、を満たすように点をとると、その6点は同一円錐曲線上にある。これをラビノヴィッツ円錐曲線（Rabinowitz Conics）と言う。

三角形の円錐曲線

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