ネスビットの不等式（）は、以下の不等式である。アルフレッド・ネスビット（Alfred Nesbitt）の名を冠する。
ただし、 は正の実数。等号は のとき成立する。
証明 ネスビットの不等式はシャピロの不等式の の場合である。 証明1:相加調和平均の関係式 相加調和平均の関係式を に用いる。
整理して、
証明2:並べ替え不等式 を仮定すると
を得る。
と定義する。並べ替え不等式より、この2列のドット積は、2列がともに単調増加あるいは単調減少であるときに最大値をとる。 今、2列は単調減少数列になっている。2つのベクトル を を循環的に置き換えたものとして、
辺辺足して、ネスビットの不等式を得る。 証明3:平方和 任意の実数について、恒等式
が成り立つから、正の実数におけるネスビットの不等式を得る。
備考:すべての有理不等式は、平方和の恒等式に変換することで証明可能である。詳細はヒルベルトの第17問題を参照。 証明4:コーシー＝シュワルツ 2つのベクトル
に関するコーシー＝シュワルツの不等式
を証明1と同様にして変形することで題意の不等式を得る。 証明5: 相加相乗平均の関係式 のようにラヴィ変換を施して、相加相乗平均の関係式を用いることにより、
を元に戻して、
整理すると、ネスビットの不等式を得る。 証明6:Tituの補題 ティトゥの補題はコーシー＝シュワルツの不等式を個の実数の列と、個の正の実数の列に関する不等式に換言したものである。
とすると、
証明7:斉次性 不等式の左辺が斉次的であることから、 としても一般性を失わない。 ラヴィ変換を施して、
とすれば、不等式は に帰着する。これは、
と変形できるが、ティトゥの補題より、成立が確認できる。 証明8:イェンセンの不等式 として、関数 を考える。この関数は区間内で凸であるから、イェンセンの不等式より、
整理して、
証明9
について、不等式を証明して、 を考えることにより、右の不等式が示せる。
実際に であるから不等式が成立する。 証明10:ムーアヘッドの不等式 証明9の右の不等式は、におけるムーアヘッドの不等式そのものである。 証明11 不等式を変形して
この左辺は、
となるので、不等式が成立する。 出典
Ion Ionescu, Romanian Mathematical Gazette, Volume XXXII (September 15, 1926 - August 15, 1927), page 120
外部リンク
Nesbittの不等式の6通りの証明 | 高校数学の美しい物語