サムネイル|リュカが提案した定義で作図したリュカ三次曲線。|412x412ピクセルリュカ三次曲線（リュカさんじきょくせん、）は、曲線上の点とその等長共役点が、Encyclopedia of Triangle CentersでX(69)に登録されている点と共線であるような三次曲線である。
後述する定義を提案したエドゥアール・リュカに因んで命名された。Catalogue of Triangle CubicsではK007に登録されている。
座標 重心座標とコンウェイの記法を用いて、次の式で表せる。
X(69) X(69)は逆補三角形の類似重心である。垂心の等長共役点で、GK線（重心と類似重心を結ぶ直線）、ジェルゴンヌ点とナーゲル点を通る直線などの交点である。
重心座標では次の式で与えられる。
定義 リュカ三次曲線の定義には以下の様なものが知られる。
曲線上の点とその等長共役点がX(69)を通るような曲線。 チェバ三角形が垂足三角形であるような点の軌跡。その垂足三角形と基準三角形の対垂の中心はを描く。ダルブ―三次曲線をリュカ三次曲線と言う場合もある。 17点3次曲線の逆補。 チェバ円共役点がド・ロンシャン点と共線であるような軌跡（つまりチェバ円共役によって不変）。
曲線上の点
基準三角形の頂点 逆補三角形の頂点 重心X(2) 垂心X(4) ド・ロンシャン点X(20) ジェルゴンヌ点X(7) ナーゲル点X(8) X(69) シュタイナー楕円の焦点
出典
関連項目 ノイベルグ三次曲線 マッケー三次曲線 三角形の三次曲線