ピゾ数

ピゾ・ヴィジャヤラガヴァン数あるいはピゾ数とは、1より大きい実代数的整数であって、自身を除く 上共役元の絶対値がすべて1より小さいものを言う。この性質を持つ数についての結果で古いものは1912年のアクセル・トゥー と1919年のゴッドフレイ・ハロルド・ハーディのものがある。その後、これらの数がなす集合について、シャルル・ピゾとティルッカンナプラム・ヴィジャヤラガヴァンがそれぞれ独立に研究・発表した。そのため、両者の名前からPV数 () とも呼ばれる。

ピゾ数の特徴として、その累乗が整数に近付くことが挙げられる。ピゾはこれについて、重要な逆定理も示している。もし1より大きな実数 について、その累乗と最も近い整数との距離が2乗和可能、すなわち ℓ2 である場合、 はピゾ数である (従って特に、 は代数的整数である)。この特徴付けを行うに際して、ラファエル・サレムはピゾ数の集合 ( で表される) が閉集合であることを示した。その最小元はプラスチック数として知られる3次の代数的数である。 の集積点については多くのことが知られている。最小の集積点は黄金数である。

定義 代数的整数、つまり整数係数モニック多項式の根のうち、1より大きい実数であり、かつ全ての共役根が、絶対値が1より小さい複素数であるような数をピゾ数という。言い換えれば、全ての共役根が複素平面の単位円の内側にあるような、1より大きい代数的整実数のことである。

例

黄金数 は多項式 の正の根であり、正確な値は である。共役元は であり、その値はおよそ-0.618である。従って はピゾ数である。 プラスチック数 は多項式 の唯一の実根であり、その値はおよそ1.3247である。残り2つの根は複素数の範囲に存在し、その値はおよそ －0.66236±0.56228i である。2つの複素根の絶対値はおよそ0.86884であり、以上より はピゾ数である。

性質

初等的な性質

1より大きい全ての整数はピゾ数である。逆に、全ての有理数であるピゾ数は１より大きい整数である。 無理数 がピゾ数であり、その最小多項式の0でない最小次係数が であるなら、 は より大きい。 実数 がピゾ数であるなら、任意の正整数 による冪 もピゾ数である。 次数 の実代数体 には必ず次数 のピゾ数が存在しており、それは体を生成する。 に存在する次数 のピゾ数すべてからなる集合は乗法について閉じている。 任意の正実数 と正整数 について、 より小さい次数 のピゾ数は有限個しか存在しない。 定義から、全てのピゾ数はペロン数である。

ほとんど整数 ピゾ数の累乗は、ほとんど整数となる。

あるピゾ数の共役根をとする。ピゾ数は代数的整数であり、整数係数モニック多項式の根であるため、解と係数の関係より、個の根からなる基本対称式は全て整数である。したがって、対称式

も整数となる。

しかし、ピゾ数の共役根の絶対値は1未満であるため、が限りなく大きいとき、それらは限りなく0に近づく。そのため、上記の対称式よりは限りなく整数に近づき、ほとんど整数となることがわかる。

例えば、黄金数の累乗は次のようになる。

ピゾ数の判定法 ピゾ数の累乗は一様分布しない。 ある数から最も近い整数までの距離を||||とすると、ある数がピゾ数であり、ある数が代数的数ならば、

が成り立つ。 上記の逆が成り立つかどうかは未解決である（ピゾ=ヴィジャヤラガヴァンの問題）が、もし成り立つならば単純な条件でピゾ数の判定ができる。以下は、ピゾ数を判定するいくつかの方法である。 ある数が1より大きい実数であり、それに対してある1以上の実数が存在して、全てのについて、

ならば、はピゾ数またはサレム数である。 ある数が1より大きい実数であり、ある数が0でない実数のとき、

ならば、はピゾ数であり、は代数的数である。（ピゾの定理） ある数が1より大きい代数的数であり、ある数が0でない実数のとき、

ならば、はピゾ数であり、は代数的数である。 ある数が1より大きい実数であるとき、O-記法を用いて||||もしくは||||ならば、はピゾ数である。 言い換えれば、累乗が0に収束する速度が十分速ければよい。

位相空間 ピゾ数の集合は、閉集合である。 によってピゾ数の集合が無限個の集積点を持つことが証明され、その後ラファエル・サレムは、ピゾ数の集合が閉集合であることを証明した。 プラスチック数は最小のピゾ数であり、黄金数は最小のピゾ数の集積点である。 ピゾ数は閉集合であり、極小元を持つ。カール・ジーゲルは、極小元がの正の実数解であるプラスチック数であり、ピゾ数の集合の孤立点であるというサレムの予想を証明した。なお、2番目に小さいピゾ数もジーゲルが発見し、孤立点であることを証明した。 デュフレノワとは、黄金数がピゾ数の集合の最小の集積点であるというジーゲルの予想を証明し、黄金数より小さなピゾ数を求めた。任意の閉区間に含まれるピゾ数を求めるアルゴリズムは、デイビッド・ボイドによって発見された。

サレム数との関係 サレム数は、代数的整実数  > 1 のうち、全ての共役根の絶対値が1以下であり、そのうち少なくとも一つの絶対値が1である数のことである。ピゾ数とサレム数は定義に共通する部分が多く、以下のようにいくつかの関連性を持つ。 ピゾ数の集合は、サレム数の集積点の集合に含まれる。 ピゾ数とサレム数の集合の和集合は、閉集合であると予想されている。 最小のサレム数を含むいくつかの小さなサレム数の族は、ピゾ数の最小多項式とその相反多項式から作った方程式を解くことで求められる。 は、代数的整実数  > 1 のうち、全ての共役根の絶対値が未満である数である。ピゾ数もサレム数も、ペロン数である。

歴史 ピゾ数は、1912年にによって研究が始まり、1919年にはゴッドフレイ・ハロルド・ハーディによってディオファントス近似の分野で研究された。その後、ピゾ数の名前の由来であるピゾの1938年の論文によって広く知られるようになり、1940年代にはサレムやヴィジャヤラガヴァンらによって研究された。

ピゾ数は、ディファントス近似、ロボット工学、流体力学、準結晶、調和解析（フーリエ級数の一意性問題）など、様々な分野に応用されている。

応用 準結晶 準結晶は、並進対称性とは両立しない5回、8回、10回または12回対称性を持ちながら、高い秩序性(準周期性)を持つ固体の状態である。正10角形準結晶の回折像は、輝点の間隔が等間隔ではなく公比が黄金数である等比数列となっており、また拡大率が黄金数である自己相似性も有する。

ピゾ数の多項式の集合は一様離散であり、二点の距離はある値よりも小さくなることができないが、同時に相対稠密でもあり、二点の距離はある値よりも大きくなることができない。この両方の性質を持つは、反発して近づくことができない原子や分子の位置をモデル化するのに適しているが、準結晶が同一構造の繰り返しを持つことを考慮するためには、が用いられる。

また、準結晶の自己相似性を持つ原子配列は、タイル張りと深い関連を持つ。二次元の自己相似性を持つタイル張りの拡大率は、ピゾ数を含む複素ペロン数でなければならず、ピゾ数を用いてタイル張りを構成することができる。

ピゾ数の一覧 二次の無理数 整数について、かつのとき、二次方程式の正の実数根はピゾ数である。 ピゾ数 最小多項式 値 1.618033... (黄金数) 2.414213... (白銀数) 2.618033... (黄金数の平方) 2.732050... 3.302775... (青銅数) 3.414213... 3.561552.. . 3.732050... 3.791287... 4.236067... (4番目の貴金属数) 黄金数より小さなピゾ数 黄金数より小さなピゾ数は、デュフレノアとピゾによって求められた。 値 多項式 最小多項式 1 1.3247179572447460260 (プラスチック数) 2 1.3802775690976141157 3 1.4432687912703731076 4 1.4655712318767680267 () 5 1.5015948035390873664 6 1.5341577449142669154 7 1.5452156497327552432 8 1.5617520677202972947 9 1.5701473121960543629 10 1.5736789683935169887 8番目を除き、多項式がもしくはであることがわかる。

多項式がであるとき、が偶数ならばで割り切れ、を自然数とするとき、となる。が奇数ならばで割り切れ、となる。

多項式がもしくはのとき、で割ることで、がピゾ数ならばであるため、が大きくなるにつれて得られるピゾ数が黄金数に近づいていくことがわかる。

脚注 注釈 出典

参考文献

関連項目 サレム数

貴金属比