フレジェ点

サムネイル|楕円におけるフレジェ点の構築。は点のフレジェ点である。 フレジェ点（フレジェてん、、）は、ある点とそれを通る円錐曲線に対して定義される点である。

定義 サムネイル|は楕円と点のフレジェ点。 サムネイル|は放物線と点のフレジェ点。 点をのフレジェ点という。

フレジェ自身による証明は解析的であった。

を原点として軸の1本が円錐曲線に接するように直交座標系をとる。 円錐曲線の方程式を計算する。 に対して直角を成す弦の方程式を算出する。 全ての弦に属する点の存在を証明する。

解釈 サムネイル|を用いたフレジェの定理の解釈。 点を中心とする円上に点をとる。直線を相応の軸、を相応の中心とする（点を、直線との交点ととにおける調和共役点に移す変換）による円の像は、点で円と接する円錐曲線となる。2点を円の直径の端点として、その調和相応の像を書いたとき、である。円の弦（直径）は常に円の中心を通るため、の調和相応の像としてフレジェ点の存在が示される。

応用 フレジェの定理によって、円錐曲線の接線の作図を行うことができる。

点を通る直線とにおけるその垂線を書く。 この2直線はを通る円錐曲線と、それぞれでない点で再び交わる。このときと2交点は直角三角形を成す。 操作1,2を他の直線で同様に行い円錐曲線におけるのフレジェ点を作図する。 直線に垂直なを通る直線は、円錐曲線のにおける接線となる。

性質

円錐曲線上を点が動くとき、そのフレジェ点の軌跡はもとの円錐曲線とその中心で相似の位置にある円錐曲線となる。特に円錐曲線が放物線であるときはその放物線を平行移動したものとなる。円の場合は、円の中心となる点に退化する。 4点を通る円錐曲線において、そのうちの1点のフレジェ点は、他の3点を頂点とする三角形におけるの 上にある。

一般化 直角を任意の角に置き換えたとき、弦の包絡線は、元の円錐曲線と相似な円錐曲線で、その中心はフレジェ点を通るある直線上にある。

任意の点について、に対して直角を成す円錐曲線の弦の包絡線はを焦点、のにおける極線を準線とする円錐曲線となる。

フレジェの定理は高次元に一般化することができる。 次元空間の二次曲面上の点について、二次曲面に内接し隣接面が直交するような次元単体の、の対面は定点を通る。

脚注

注釈

出典

参考文献

Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, .

. Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel. Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M, 関連項目 タレスの定理