ジグモンディの定理

ジグモンディの定理（ジグモンディのていり、）は、に因んで名付けられた数論の定理である。下記に挙げる例外を除き、互いに素な正整数と正整数について、はで割り切れるが、をを満たす任意の正整数としてはで割り切れないようなある素数（primitive prime divisor）が存在することを主張する。

例外:

, の場合。ゆえにが存在しない。 , が2の冪の場合。の任意の奇数素因数がの因数でなければならないがは偶数である。 , , の場合。が成立してしまう。

この定理は1または6でない正整数について、を割り切り、を割り切らない素数が存在する事を主張する Bang の示した定理 And を一般化している。

同様に、の場合を除き、は少なくとも1つのを持つ。

ジグモンディの定理は役に立つ場面が多く、群論では様々な群が異なる位数を持つことの証明に利用されるMontgomery, H. "Divisibility of Mersenne Numbers." 17 Sep 2001.。

歴史ジグモンディの定理は1894年から1925年までウィーンで働いていたカール・ジグモンディに発見された。

一般化を0でない整数の数列とする。が primitive prime divisor を持たないような正整数の集合をジグモンディ集合（Zsigmondy set）という。

つまり、を割り切るすべての素数が、未満のある正整数においてを割り切ることができるようなの集合を指す。ジグモンディの定理はを意味し、は、フィボナッチ数のジグモンディ集合がであることとペル数のジグモンディ集合がであることを意味している。2001年、Bilu と Hanrot と Voutier は一般に、がリュカ数列またはであるときであることを示したY. Bilu, G. Hanrot, P.M. Voutier, Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers, J. Reine Angew. Math. 539 (2001), 75-122（このようなは1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30 の13つの数のみ。を参照せよ）。リュカ数列とレーマー数列はの例である。

をとして、そのジグモンディ集合は有限であることが知られているJ.H. Silverman, Wieferich's criterion and the abc-conjecture, J. Number Theory 30 (1988), 226-237。この結果はその証明がの最も大きい要素の明白な上界を与えていないという点で扱いにくいが、の要素の個数の扱いやすい上界を与えることができるP. Ingram, J.H. Silverman, Uniform estimates for primitive divisors in elliptic divisibility sequences, Number theory, Analysis and Geometry, Springer-Verlag, 2010, 233-263.。

出典

参考文献

ジグモンディの定理

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