双曲四元数（そうきょくしげんすう、）は、またはクリフォード代数 に対応する 4 次元実代数を指す仮称である。
標準四元数と同様に基底 を持つが、虚数単位の平方が
となる点が特徴である。
数学的には、分裂四元数と完全に同型である。 定義 双曲四元数 は、
で表され、積は
により定義される。
これにより
が従う。 分裂四元数との同型 分裂四元数 を、基底 と
で定義する。
写像
を
と定めると、積の保存
が成立し、 は同型写像である。 クリフォード代数との関係 分裂四元数 は、以下と同型であることが知られている：
は 1 個の負平方元、1 個の正平方元を持つクリフォード代数 は 2×2 実行列全体 双曲四元数は、この連鎖の中に自然に位置づけられる。 行列表現 対応
は、双曲四元数と の同型を与える。 ノルム 共役
に対し、ノルム
を得る。
符号が の「分裂型」計量であり、 のときに限り逆元が存在する。 クリフォード代数
体系の中での位置づけ（図式） クリフォード代数の標準的分岐図における位置づけは次の通り：
さらに、
標準四元数： 分裂四元数： である。
同型性の厳密証明（ε–δ レベルの代数的厳密性） 以下では、双曲四元数 と分裂四元数 の同型
が「代数として」同型であることを、基底同型と積構造保存の 形式に近い厳密さで示す。 代数同型の定義 実代数 に対し、写像
が 代数同型 であるとは：
は線形写像 単位元の保存 積の保存 双射である（全単射） 線形性の証明 分裂四元数の任意元
に対し、 は
これは係数の線形写像
として作用し、線形性は係数レベルで自明に成立。
積の保存 基底の積だけ確認すればよい（双線形性のため）。分裂四元数の積
に対し、双曲四元数では
写像 のもとで
これで積が保存される。 全単射性 は基底を基底に写す線形写像なので、
行列表示すると
ゆえに可逆。
したがって全単射。 結論 以上より、 は代数同型である：
すなわち、双曲四元数は分裂四元数と数学的に完全同型である。
行列表現とクリフォード代数との一致 2×2 実行列代数 はクリフォード代数
の既約表現である。
写像
はクリフォード生成子
を満たすため、
と一致する。
関連項目 四元数 幾何学的代数 出典