ワイルテンソル（）とは純粋な重力の情報を持ちリーマンテンソルにおいてリッチテンソルの成分を除去したテンソルである。テンソル名は、ヘルマン・ワイルに因む。 定義 X,Y,Z,WをM上のベクトル場とする。(M,g)をn次元リーマン多様体とする。Rをgのリーマン曲率テンソルとし、Ricをリッチテンソルとし、をスカラー曲率とする時、4階共変ワイルテンソルは次のように定義できる。
となる。 または、
とかける。そしてワイルテンソルはリーマンテンソルと同じ対称性を持っている。
性質 ワイルテンソルは共形変換において不変であることから共形テンソルとも呼ばれる。だが、重力に特徴的な長さのスケール存在しないことを考えれば共形変換とは物差しのような認識になり、この変換において純粋な重力部分を成分とするワイルテンソルが不変なのは当然のことである。そしてワイルテンソルはトレースに対して0になる。
出典