修正ノード解析

電気工学において、修正ノード解析（MNA）とは、ノード解析を拡張したものである。この手法では、回路中のノードの電圧だけでなく、一部のブランチの電流についても未知数として扱われる。修正ノード解析は、電圧源として動作する素子（例：電圧制御電圧源）を扱いやすくするために考案された。他にも、スパースタブロー法などの手法があるが、これらもMNAと同様に汎用性が高く、他の手法とMNAは行列変換によって関連付けられている。

手順 MNAは、各素子がどのようなブランチを構成するかを表す方程式（branch constitutive equations, BCEs）、すなわち各素子の電圧-電流特性（VI特性）と、Kirchhoffの法則を利用する。この手法は4段階で行われることが多いがCheng, Chung-Kuan. Lecture Notes for CSE245: Computer-Aided Circuit Simulation and Verification. Spring 2006. Lecture 1.、3段階に減らすこともできる。

手順1

Kirchhoffの電流則を、回路の各ノードについて適用する。ここで、MNAにおいては、理想電圧源に対して電流を定めるとき、正極から負極に流れるように取ることに注意（図1参照）。また、ノードに入る電流を負、ノードから出る電流を正とすることで、各方程式の右辺を常に0としておく。

手順2

なるべく多くのブランチ電流を、ノード電圧と各素子のVI特性を用いて表す。（ノード電圧を用いることで、1ステップ削減されている。ブランチにかかる電圧を使うと、それをノード電圧に変換するというステップが追加される。）なお、本記事では、ノード電圧を表すのに"e"を、ブランチにかかる電圧を"V"を用いて表すことにする。

手順3

最後に、未使用の方程式を書き加える。（訳注：例えば、電圧源の電圧は、手順1、手順2で使用されていないため、この段階で書き加えます。）

例 図1は、RCを直列に接続した負荷に対して理想電圧源を接続した回路を示している。また、表1は、抵抗とキャパシタのVI特性を示している。ここで、抵抗のVI特性を示すのにアドミタンスを使用していることに注意。

+ 表1 各素子のVI特性 素子 VI特性 抵抗 キャパシタ

それでは、先述の手順に従って計算する。

手順1

この回路の場合、ノードはとの2つである。また、ブランチ電流は、、、の3つである。Kirchhoffの電流則を用いて方程式を立てるのだから、未知数が3つであることに注意。

ノード、ノードのそれぞれについて、Kirchhoffの電流則は次式の通り：

手順2

抵抗のあるブランチと、キャパシタのあるブランチのそれぞれにかかっている電圧は、次式のように表される：

上式のように表された、と、表1によって与えられる各素子のVI特性を利用すると、手順1で立てた方程式は次式のように書き換えられる：

手順3

現段階で、未知数3つに対して方程式が2つしか立っていないことに注意。これは、電圧源による電圧を条件として導入していなかったからである：

以上で、3つの未知数に対して3つの方程式が得られた。これらの3つの式を連立すれば、3つの未知数を求めることができる。

修正ノード方程式とDAE というベクトルを定義すれば、上記の方程式はの形にかける。ここで、、、は

これは、線形微分代数方程式（DAE）となっている。なぜなら、に逆行列が存在しないからである。また、抵抗、インダクタ、キャパシタのみが用いられている回路であれば、MNAによって導出されるDAEに含まれる導関数は高々2階であるTischendorf C. Topological index of DAEs in the Circuit Simulation.。オペアンプなどの能動素子を用いると、DAEに含まれる導関数の階数が2階よりより高くなる場合がある。

素子の特性が微分不可能点を含む場合 DAEは、各々の素子の特性が滑らかであることを前提としている。例えば、ダイオードを含む回路を、MNAとDAEで扱う場合を考える。その場合、Shockleyの式が用いられる。導通している領域を定電圧の直線として扱うことはできない。後者のようなVI特性を用いた回路解析は、DAEを使う場合より複雑であり、非平滑力学（NSDS）の話題である。なお、NSDSは、微分包含式の理論に依拠している。

References

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