量子集合論（りょうししゅうごうろん、）は、量子論理を真理値体系として用いる集合論の一分野である。通常の集合論やブール値モデルにおいて命題の真理値が二値的またはブール代数の元として与えられるのに対し、量子集合論では真理値は一般に完備オーソモジュラー束の元として与えられる。1981年に竹内外史が導入し、その後、小澤正直らにより理論の整備が進められた。
量子集合論では、集合論の文の真理値を量子論理の元として評価することにより、量子力学の命題構造に対応した集合論的宇宙を構成する。とくに、内部で構成される実数が自己共役作用素と対応することが、この理論の主要な特徴の一つとされる。
歴史 量子集合論の背景には、1936年にギャレット・バーコフとジョン・フォン・ノイマンが提起した量子論理がある。量子論理は、量子力学の観測命題の構造を古典命題論理とは異なる束として捉えるものであり、量子集合論はこれを集合論の水準へ拡張する試みとして導入された。
2000年代以降、小澤正直により理論の再構成が進められ、2007年には量子集合論における移行原理が示された。さらに2010年代には、量子力学の確率解釈への応用や、一般の完備オーソモジュラー束に基づくモデルへの拡張が論じられた。
定式化 量子集合論では、真理値の体系として完備オーソモジュラー束 を固定し、これを用いて累積階層 } を構成する。各元は、ある対象が集合に属することの真理値を の元で与える関数として表される。所属関係や等号の真理値も再帰的に定義される。
量子論理では、否定・連言・選言に比べて含意の扱いが一意ではなく、量子集合論でもどの条件法を採用するかが理論上の問題となる。こうした点は、移行原理や量化子の性質と関係づけて研究されてきた。
移行原理 小澤は、量子集合論において有界公式に対する移行原理を示した。これは、古典集合論 ZFC で証明される一定範囲の文が、適切な可換性条件のもとで量子集合論の内部にも移されることを述べるものである。
量子集合論における実数 量子集合論の内部実数は、有理数の内部コピーからデデキント切断として構成される。竹内および小澤の研究では、この内部実数が自己共役作用素と対応することが示されている。
この対応により、内部実数の等号や順序を通じて、観測可能量の関係を集合論の言語で表現することが可能になる。
量子力学との関係 量子集合論は、量子力学の観測命題や観測可能量の関係を、命題論理より広い言語で扱う枠組みとして用いられている。小澤は、量子集合論を用いて任意の二つの観測可能量が等しい確率を定式化し、測定理論との関係を論じた。
脚注
参考文献
関連項目 量子論理 集合論 ブール値モデル 強制法 自己共役作用素 量子力学