四つ子素数

四つ子素数（よつごそすう、）とは、4個の素数の組で、 のタイプのもののことをいう。ここで、 および はいずれも双子素数であり、 はいとこ素数であり、 および はいずれもセクシー素数であり、 および はいずれも三つ子素数である。

四つ子素数を小さい順に並べると、

となる。最小のもの以外は、（ は 以上の整数）の形になる。したがって最小のものを除き、四つ子素数の一の位の数は小さい順に となり、十の位以上の桁の数字は全て共通となる。

四つ子素数が無数に存在するのかどうかは2016年9月現在未解決である。

四つ子素数の逆数和は収束し、

である。

2019年2月現在発見されている四つ子素数 で最大の は、10132桁の である。

最初の38組の四つ子素数 {5, 7, 11, 13}, {11, 13, 17, 19}, {101, 103, 107, 109}, {191, 193, 197, 199}, {821, 823, 827, 829}, {1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089}, {3251, 3253, 3257, 3259}, {3461, 3463, 3467, 3469}, {5651, 5653, 5657, 5659}, {9431, 9433, 9437, 9439}, {13001, 13003, 13007, 13009}, {15641, 15643, 15647, 15649}, {15731, 15733, 15737, 15739}, {16061, 16063, 16067, 16069}, {18041, 18043, 18047, 18049}, {18911, 18913, 18917, 18919}, {19421, 19423, 19427, 19429}, {21011, 21013, 21017, 21019}, {22271, 22273, 22277, 22279}, {25301, 25303, 25307, 25309}, {31721, 31723, 31727, 31729}, {34841, 34843, 34847, 34849}, {43781, 43783, 43787, 43789}, {51341, 51343, 51347, 51349}, {55331, 55333, 55337, 55339}, {62981, 62983, 62987, 62989}, {67211, 67213, 67217, 67219}, {69491, 69493, 69497, 69499}, {72221, 72223, 72227, 72229}, {77261, 77263, 77267, 77269}, {79691, 79693, 79697, 79699}, {81041, 81043, 81047, 81049}, {82721, 82723, 82727, 82729}, {88811, 88813, 88817, 88819}, {97841, 97843, 97847, 97849}, {99131, 99133, 99137, 99139},...

最初の数は、2番目の数は、3番目の数は、4番目の数はを、中央の数はを参照。

五つ子素数、六つ子素数 四つ子素数 について、 または がさらに素数であれば、それらを加えた5つ組を五つ子素数（いつつごそすう、prime quintuplet）という。特に と の両方が素数であれば、その6つ組を六つ子素数（むつごそすう、prime sextuplet）という。

五つ子素数、六つ子素数が無数に存在するかどうかはわかっていない。

五つ子素数の例 型OEIS A022006 {5, 7, 11, 13, 17}, {11, 13, 17, 19, 23}, 　{101, 103, 107, 109, 113}, {1481, 1483, 1487, 1489, 1493}, {16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {21011, 21013, 21017, 21019, 21023}, {22271, 22273, 22277, 22279, 22283}, {43781, 43783, 43787, 43789, 43793},... 型OEIS A022007 {7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879}, {3457, 3461, 3463, 3467, 3469}, {5647, 5651, 5653, 5657, 5659}, {15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789},...

六つ子素数の例 {7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793}, {1091257, 1091261, 1091263, 1091267, 1091269, 1091273}, {1615837, 1615841, 1615843, 1615847, 1615849, 1615853}, {1954357, 1954361, 1954363, 1954367, 1954369, 1954373}, {2822707, 2822711, 2822713, 2822717, 2822719, 2822723},...

その他の形と「七つ子」以上 および は必ず 3 の倍数であるため、これらを含んだ「五つ子」は の形の しか存在しない。

また、, はいずれも 5 の倍数になるため、双子素数3つからなる の形の「六つ子」は、 しか存在しない。

さらに , はいずれも 3 の倍数になるため、六つ子素数の両端±4の範囲には素数はない。, の「七つ子」、 の「八つ子」を除いて、差が4以内で連なる七つ子以上の素数の組は存在しない。

脚注

関連事項 双子素数 三つ子素数 いとこ素数 セクシー素数 Prime k-tuple

外部リンク