数学において、方程式を解く（ほうていしきをとく、英: solve an equation）とは、方程式の解（かい、英: solution）を見つけることである。解とは、一般に等号で結ばれた2つの式によって記述される条件を満たす値（数、関数、集合など）のことである。解を求める際、1つ以上の変数が「未知数」として指定される。解とは、方程式の等号を真にするような未知数への値の割り当てである。換言すれば、解とは未知数に代入したときに方程式を等式（恒等的な事実）にするような値、または値の集合（未知数ごとに1つ）のことである。 方程式の解は、特に（ただしこれに限定されないが）多項式方程式において、方程式の根（こん、英: root）と呼ばれることも多い。方程式のすべての解の集合は、その解集合と呼ばれる。
方程式は、数値的または代数的に解くことができる。方程式を「数値的に」解くとは、解として数値のみが認められることを意味する。方程式を「代数的に（記号的に）」解くとは、解を表すために数式を使用できることを意味する。
例えば、方程式 は、未知数 について解くと、式 となる。これは、方程式の に を代入すると、 という真の言明が得られるからである。また、変数 を未知数とすることも可能であり、その場合の方程式の解は となる。あるいは と の両方を未知数として扱うこともでき、その場合、方程式には多くの解が存在する。代数的な解は であり、ここで変数 は任意の値を取ることができる。この代数的な解に特定の数値を当てはめると数値解が得られる。例えば は （すなわち ）を与え、 は を与える。
既知の変数と未知の変数の区別は、一般に問題文の中で「 と に関する方程式」や「 と について解け」といったフレーズによってなされ、これらは未知数（ここでは と ）を示している。 しかし、未知数を表すために を、既知の変数を表すために を予約しておくことが一般的である。後者はしばしば係数（パラメータ）と呼ばれる。これは、二次方程式などの多項式方程式を考える際に典型的なケースである。ただし、問題によってはすべての変数がどちらの役割も担う可能性がある。
文脈に応じて、方程式を解くことは、任意の解を見つけること（1つの解を見つければ十分な場合）、すべての解を見つけること、あるいは与えられた区間に属するなどのさらなる性質を満たす解を見つけることで構成される。ある基準の下で「最適」な解を見つけることが課題である場合、それは最適化問題となる。最適化問題を解くことは、一般に「方程式を解くこと」とは呼ばれない。なぜなら、一般にその解決手法は、より良い解を見つけるために特定の解から開始し、最終的に最適な解が見つかるまでプロセスを繰り返すからである。
概要 方程式の一般的な形式の一つは
であり、ここで は関数、 は未知数、 は定数である。その解は逆像（ファイバー）の要素
であり、ここで は関数 の定義域である。解の集合は、空集合（解なし）、単集合（解がちょうど1つ）、有限集合、あるいは無限集合（解が無数にある）になり得る。
例えば、未知数 を持つ次のような方程式
は、両辺から を引くことで、上記の形式に当てはめることができる。
この特定のケースでは、解は「1つ」だけではなく、無限集合となる解の集合が存在し、集合の内包的記法を用いて次のように記述できる。
特定の解の一つは である。他に2つの解として および が挙げられる。これら3つの座標を持つ点を通る一意な平面が三次元空間内に存在し、この平面が、その座標が方程式の解となるすべての点の集合である。
解集合
与えられた方程式の集合または不等式の集合の解集合とは、そのすべての解からなる集合のことである。解とは、未知数ごとに1つの値が割り当てられた値のタプルであり、これらすべての方程式または不等式を満足する。 もし解集合が空であれば、すべての方程式と不等式を同時に満たす未知数の値は存在しないことになる。
簡単な例として、次の方程式を考える。
この方程式はディオファントス方程式、すなわち整数解のみが求められる方程式と見なすことができる。この場合、2は整数の二乗ではないため、解集合は空集合である。しかし、実数解を求めるのであれば、 と という2つの解が存在する。つまり、解集合は である。
方程式に複数の未知数が含まれる場合、あるいは方程式の数よりも未知数の数の方が多い複数の方程式がある場合、解集合はしばしば無限となる。この場合、解を列挙することはできない。それらを表現するために、解を一部の未知数または補助変数で表すパラメータ表示（媒介変数表示）がしばしば有用である。これは、すべての方程式が線形方程式である場合には常に可能である。
このような無限の解集合は、自然に直線、曲線（画像参照）、平面、より一般的には代数多様体や多様体などの幾何学的形状として解釈することができる。特に、代数幾何学は代数方程式の解集合の研究と見なすことができる。
解法 方程式を解くための方法は、一般に方程式の型、すなわち方程式に含まれる式の種類と、未知数が取り得る値の種類に依存する。方程式の型の多様性は大きく、それに対応する方法も同様に多岐にわたる。以下では、特定のいくつかの型についてのみ述べる。
一般に、あるクラスの方程式が与えられたとき、確実に機能する既知の体系的な方法（アルゴリズム）が存在しない場合がある。これは数学的知識の欠如による場合もあり、一部の問題は数世紀にわたる努力の末にようやく解かれた。しかし、一般的にはそのような方法は存在し得ないという事実も反映している。例えばヒルベルトの第10問題のように、アルゴリズムによる解決が不可能であることが1970年に証明された問題も存在する。
いくつかのクラスの方程式については、それらを解くためのアルゴリズムが見つかっており、その一部は数式処理システムに実装・組み込まれているが、多くの場合、紙と鉛筆以上の洗練された技術を必要としない。また、確実に成功する保証はないが、しばしば成功するヒューリスティックな方法が知られているケースもある。
総当たり、試行錯誤、インスピレーションによる推測 方程式の解集合が有限集合に限定されている場合（例えばモジュロ演算における方程式など）、あるいは有限個の可能性に絞り込める場合（一部のディオファントス方程式など）は、総当たり（力まかせ探索）によって、すなわち可能性のある各値（候補解）をテストすることによって解集合を見つけることができる。ただし、考慮すべき可能性の数が、有限であっても膨大すぎて、しらみつぶしな探索が実際には不可能な場合もある。これは、強力な暗号化手法の要件でもある。
あらゆる種類の問題解決と同様に、試行錯誤によって解が得られることもある。特に方程式の形式や、既知の解を持つ他の方程式との類似性が、解への「インスピレーションによる推測」を導く場合がある。推測した値をテストして解でなかった場合でも、その失敗の仕方を考慮することで、修正された推測が得られることがある。
初等代数学 単一の実数値未知数（例えば ）の線形式や単純な有理関数を含むような方程式、例えば 「または」などは、初等代数学の手法を用いて解くことができる。
線形方程式系 小規模な線形方程式系も同様に、初等代数学の手法で解くことができる。より大規模な系を解くには、線形代数学に基づいたアルゴリズムが使用される。ガウスの消去法を参照。
多項式方程式 4次までの多項式方程式は、代数的手法を用いて正確に解くことができ、二次方程式の解の公式がその最も単純な例である。5次以上の多項式方程式は、一般に数値的手法あるいはブリング根のような特殊関数を必要とするが、いくつかの特定のケースは代数的に解ける場合がある。例えば
（有理根定理を使用）や、
（置換 を用いることで に関する二次方程式に簡略化できる）などである。
ディオファントス方程式 ディオファントス方程式では、解が整数であることが要求される。上述のように、総当たり的なアプローチが可能な場合もある。また、特に未知数が1つの場合、有理数値の未知数について方程式を解き（有理根定理を参照）、その後、解集合を整数値の解に制限することでディオファントス方程式の解を見つけることができる場合もある。例えば、多項式方程式
は有理解として と を持つため、ディオファントス方程式として見ると、唯一の解 を持つ。
しかし、一般的にディオファントス方程式は解くのが最も困難な方程式の一つに数えられる。
逆関数 1変数関数 の単純なケースでは、ある定数 に対して という形式の方程式を、 の逆関数と呼ばれるものを考慮することで解くことができる。
関数 が与えられたとき、逆関数は と表記され、 と定義される。これは次の性質を持つ関数である。
ここで、 を 内の定数値として、 の両辺に逆関数を適用すると、次のようになる。
これで方程式の解が見つかったことになる。しかし、関数によっては逆関数を定義するのが困難であったり、集合 の全体では関数にならなかったり（部分集合のみ）、ある点で多くの値を持ったりする場合がある。
解集合全体ではなく1つの解だけで十分な場合は、完全な逆関数の代わりに、次の機能的同一性が
保持されていれば実際には十分である。例えば、 で定義される射影 は右逆関数を持たないが、 で定義される左逆関数を持つ。実際、方程式 は次のように解ける。
逆関数の例には、n乗根（ の逆）、対数（ の逆）、逆三角関数、ランベルトのW関数（ の逆）などが含まれる。
因数分解 方程式 の左辺の式が と因数分解できる場合、元の方程式の解集合は、2つの方程式 と の解集合の和集合で構成される。 例えば、方程式
は、恒等式 を用いて次のように書き換えることができる。
これは次のように因数分解できる。
したがって、解は方程式 の解であり、次の集合となる。
数値解法 実数や複素数におけるより複雑な方程式では、単純な解法が通用しないことがある。多くの場合、ニュートン・ラフソン法のような根を求めるアルゴリズムを使用して方程式の数値解を見つけることができ、一部の応用においては、問題を解決するためにそれで完全に十分な場合がある。 また、線形方程式系の数値解法も存在する。
行列方程式 実数の行列やベクトルを含む方程式は、多くの場合、線形代数学の手法を用いて解くことができる。
微分方程式 様々な種類の微分方程式を数値的および代数的に解くための膨大な手法が存在する。ここに属すると考えられる特定の問題のクラスに積分があり、この種の問題を解くための代数的手法は現在、記号積分と呼ばれている。微分方程式の解は「陰関数」または「陽関数」になり得る。
関連項目 連立方程式 単一化 — 記号表現を含む方程式の解法
参考文献