確率の解釈

「確率」という語は、これが偶然のゲームの数学的研究に最初に適用されて以来、さまざまな仕方で用いられてきた。確率は、何かが生起する実在的・物理的傾向を測るのであろうか。それとも、それが生起すると人々がどれほど強く信じるかの尺度なのであろうか。あるいはその両方の要素を引きだすのであろうか。こうした問いに答えるなかで、数学者は確率論の確率値を解釈する。

「確率の解釈」(かくりつのかいしゃく、)には「物理的確率」と「証拠的確率」と呼びうる二つの広いカテゴリがある。物理的確率は客観確率または頻度確率とも呼ばれ、ルーレット、サイコロ振り、放射性原子のようなランダムな物理系と結びつけられる。そうした系では、ある所与のタイプの出来事(サイコロが6を出すなど)は、長期の試行において持続的な割合、すなわち「相対頻度」で生起する傾向がある。物理的確率は、これらの安定した頻度を説明する、あるいは説明するために援用される。物理的確率の理論の主たる二種類は、(ヴェン、ライヘンバッハ、フォン・ミーゼスのような)頻度主義的な説明と、(ポパー、ミラー、ジーア、フェッツァーのような)傾向の説明である。

証拠的確率はベイズ確率とも呼ばれ、ランダムな過程が関与しない場合でも、命題のもつ合理的・主観的なもっともらしさを表現する仕方として、あるいは命題が利用可能な証拠によって支持される程度として、いかなる言明にも割り当てることができる。多くの説明では、証拠的確率は特定のオッズで賭けようとする性向の観点から定義される合理的な信念の程度とみなされる。証拠的解釈の主な四つは、古典的解釈(例:ラプラスの解釈)、主観的解釈(デ・フィネッティとサヴェッジ)、認識論的または帰納的解釈(ラムゼイ、)、論理的解釈(ケインズとカルナップ)である。また、集団をカバーする証拠的確率の解釈もあり、しばしば「間主観的」と呼ばれる(とロウボトムによって提唱された)。

確率のいくつかの解釈は、推定や仮説検定の理論を含む統計的推論へのアプローチと結びついている。たとえば、物理的解釈はロナルド・フィッシャー、イェジー・ネイマン、エゴン・ピアソンのような「頻度主義」統計手法の追随者によって採用されている。対立するベイズ学派の統計学者は、頻度解釈が意味をなすときには通常それを(定義としてではないにせよ)受け入れるが、物理的確率に関しては合意が少ない。ベイズ主義者は、証拠的確率の計算は統計学において妥当かつ必要であるとみなす。しかし本記事は、統計的推論の理論ではなく確率の解釈に焦点を当てる。

この主題の用語法はかなり混乱している。それは部分的に、確率がさまざまな学術分野のなかで研究されているからである。「頻度主義者」()という語はとくにやっかいである。哲学者にとっては、これは物理的確率に関する特定の理論、いわばほぼ放棄された理論を指す。他方、科学者にとっては、「頻度主義的確率」は単に物理的(あるいは客観的)確率の別名にすぎない。ベイズ推論を推進する者たちは、「頻度主義統計学」を、通常大数の法則に依拠し、「帰無仮説有意性検定」(NHST)によって特徴づけられる、確率の頻度解釈にもとづく統計的推論へのアプローチとみなす。また、確率に適用された「客観的」という語は、時にここで「物理的」が意味するものをまさに意味するが、論理確率や認識論的確率のような、合理的制約によって固定された証拠的確率にも用いられる。

哲学確率の哲学は主として認識論の問題、および数学的概念と非数学者によって用いられる日常言語との不安定な接面の問題を提起する。

確率論は数学における確立された研究分野である。その起源は17世紀のブレーズ・パスカルとピエール・ド・フェルマーのあいだの偶然のゲームの数学を論じる書簡にあり、20世紀にアンドレイ・コルモゴロフによって形式化され、数学の独立した分野として公理化された。公理形式において、確率論についての数学的言明は、他の数学的言明と共有される数学の哲学内における認識論的信頼性と同じものをもつLaszlo E. Szabo, A Physicalist Interpretation of Probability。

数学的分析は、ランダムで均等化された要素を導入するように特別に設計されたトランプやサイコロのようなゲーム器具の振る舞いの観察から生じた。数学的に言えば、それらは無差別の対象である。これは確率言明が日常の人間言語のなかで用いられる唯一の仕方ではない。人々が「たぶん雨が降るだろう」と言うとき、彼らが意味しているのは通常、雨か雨でないかの結果が現在オッズに有利なランダムな要因であるということではない。むしろ、こうした言明は、雨の期待をある程度の確信で限定するものと理解したほうがよいかもしれない。同様に、マサチューセッツ州ラドローの名の「最も確からしい説明」が「ロジャー・ラドローに因んで命名された」というものであると書かれるとき、ここで意味されているのはロジャー・ラドローがランダムな要因によって有利であるということではなく、これが証拠の最ももっともらしい説明であり、他にあまりあり得そうにない説明も認める、ということである。

トーマス・ベイズは、変動する確信の程度を扱える論理を提供することを試みた。それゆえベイズ確率は、確率言明の表象を、それが表現する信念が抱かれる確信の程度の表現として作り直す試みである。

確率は当初、いくぶん日常的な動機をもっていたが、その現代的影響と用途は根拠に基づく医療からシックス・シグマ、さらには確率的に検証可能な証明や弦理論ランドスケープに至るまで広範に及んでいる。

+ 確率の解釈のいくつかの要約古典的頻度主義主観的傾向主要な仮説不充足理由の原則生起の頻度信念の程度因果的結びつきの程度概念的基礎仮説的対称性過去のデータと参照クラス知識と直観系の現在状態概念的アプローチ推測的経験的主観的形而上学的単一事例可能はいいいえはいはい精確はいいいえいいえはい問題点不充足理由の原則の曖昧さ循環的定義参照クラス問題議論のある概念

古典的定義

確率の分野における数学的厳密さへの最初の試みはピエール=シモン・ラプラスによって主導され、今日「古典的定義」として知られている。(サイコロを振るなどの)偶然のゲームの研究から発展したこの定義は、可能なすべての結果が等しく確からしいとみなされうるならば、確率はすべての可能な結果のあいだに等しく分配される、と述べる(3.1)。

これは数学的に次のように表せる。ランダムな実験が N 個の互いに排他的かつ等しく確からしい結果を生じうるとし、これらの結果のうち NA 個が出来事 A の生起をもたらすならば、A の確率は次のように定義される。

古典的定義には明らかな限界が二つある。第一に、これは可能な結果が「有限」数しかない状況にのみ適用可能である。しかし、表が出るまでコインを投げ続けるような、ある種の重要なランダムな実験は、結果の無限集合をもたらす。第二に、これは可能なすべての結果が等しく確からしいことを、確率の概念に依拠して循環的推論の罠に陥ることなく、ア・プリオリに決定することを要請する(「同様に未決定であるような」という用語法を用いるなかで、ラプラスは「不十分理由の原則」と呼ばれているものによって、そうでないと仮定する既知の理由がないかぎりすべての可能な結果は等しく確からしい、と仮定したが、これには明らかな正当化はない)。

頻度主義

頻度主義者は、出来事の確率はその時間にわたる相対頻度(3.4)、すなわち同様の条件下である過程を多数回繰り返した後の生起の相対頻度である、と措定する。これは偶然的確率としても知られる。出来事は何らかのランダムな物理的現象に支配されているとされ、これらの現象は十分な情報があれば原理的に予測可能な現象(決定論を参照)か、あるいは本質的に予測不可能な現象のいずれかである。前者の例にはサイコロを振ることやルーレットを回すことが含まれ、後者の例には放射性崩壊がある。公正なコインを投げる場合、頻度主義者は、表が出る確率が 1/2 であるのは、等しく確からしい二つの結果があるからではなく、多数回の試行の繰り返しの系列が、試行数が無限へ行くにつれて経験的頻度が極限 1/2 に収束することを示すからである、と述べる。

出来事が回の試行のうち生起する回数をと表すならば、ならば、と言う。

頻度主義の見方には独自の問題がある。出来事の確率を決定するためにランダムな実験の無限の繰り返しを実際に遂行することは、もちろん不可能である。しかし、過程の有限回の繰り返ししか遂行されないなら、異なる試行系列で異なる相対頻度が現れることになる。これらの相対頻度が確率を定義するならば、確率は測定されるたびにわずかに異なることになる。しかし実在の確率は毎回同じであるはずである。確率を測定誤差を伴って測定しかできない事実を認めても、誤差自体は確率としてしか表現できないので、われわれは依然として問題に陥る。これは定義しようとしているまさにその概念である。これは頻度定義をも循環的なものにする。たとえば「地震の機会は何か?」を参照のことFreedman, David and Philip B. Stark (2003) "What is the Chance of an Earthquake?" Earthquake Science and Seismic Risk.。

主観主義

主観主義者は「ベイズ主義者」あるいは「認識論的確率」の追随者としても知られ、特定の状況の不確実性を評価する個人の「合理的な信念の程度」の尺度とみなすことによって、確率の概念に主観的身分を与える。認識論的あるいは主観的確率は時に「信用度」()と呼ばれ、傾向確率を表す「偶然」()に対比される。

認識論的確率の例には、提案された物理学の法則が真であるという命題に確率を割り当てること、あるいは提示された証拠にもとづいて被疑者が犯罪を犯したことがどれほど確からしいかを決定することがある。

ベイズ確率の使用は、それが信念の妥当な正当化を提供できるかどうかという哲学的論争を引き起こす。ベイズ主義者は、ラムゼイ(p. 182)とデ・フィネッティ(p. 103)の仕事を、主観的信念が首尾一貫している(合理的である)ためには確率の法則に従わなければならないことを証明するものとして指し示す。

証拠は、個々の人間が日常的に首尾一貫した信念を適用しているという見解に疑問を投げかけ、人々がしばしばベイズ確率に従っていないことを示唆する。

ベイズ確率の使用は、事前確率の特定を伴う。これは、要請される事前確率が、壺モデルや思考実験に結びついた参照確率より大きいか小さいかを考えることから得られうる。問題は、所与の問題に対して複数の思考実験が適用しうること、そのうちの一つを選ぶことが時として判断の問題であることである。異なる人々は異なる事前確率を割り当てるかもしれず、これは参照クラス問題として知られている。「日の出問題」がその例を提供する。

傾向

傾向説論者は、確率を、ある所与のタイプの物理的状況がある種の結果をもたらす、ないしそうした結果の長期的相対頻度をもたらす物理的傾向、あるいは性向、あるいは傾向性とみなす。この種の客観的確率は時に「偶然」()と呼ばれる。

傾向あるいは偶然は相対頻度ではなく、観察された安定した相対頻度の意図された原因である。傾向は、ある種の実験を繰り返すことがなぜ与えられたタイプの結果を持続的な割合で生成するかを説明するために援用され、これらは傾向ないし偶然として知られる。頻度主義者はこのアプローチを採用できない。なぜなら相対頻度はコインの単一の投擲には存在せず、大きな集団あるいは集合体にのみ存在するからである(前掲表の「単一事例可能」を参照)。これに対し、傾向説論者は大数の法則を用いて長期頻度の振る舞いを説明できる。この法則は確率の公理の帰結であり、たとえば、コインが何度も繰り返し投げられ、表が出る確率が各投擲で同じであり、結果が確率的に独立しているならば、表が出る相対頻度は各単一投擲で表が出る確率に近づく、と述べる。この法則は、安定した長期頻度が不変な「単一事例」確率の現れであることを認める。安定した相対頻度の現れを説明することに加えて、傾向の考えは、特定の原子が特定の時点で崩壊する確率のような、量子力学における単一事例の確率帰属の意味をなさせたいという欲求によって動機づけられる。

傾向理論が直面する主たる挑戦は、傾向が何を意味するかを正確に述べることである(そして、もちろん、そのように定義された傾向が要請される性質をもつことを示すことである)。残念ながら、現時点では、よく認められた傾向の説明のいずれも、この挑戦に応えるまでには至っていない。

確率の傾向理論はチャールズ・サンダース・パースによって与えられた。後続の傾向理論は哲学者カール・ポパーによって提案されたが、彼はC・S・パースの著作にはわずかな見識しかなかった。ポパーは、物理的実験の結果がある「生成条件」の集合によって生み出されることに注目した。実験を繰り返すとき、語り口どおりに言えば、実際には(多かれ少なかれ)類似した生成条件の集合のもとで別の実験を遂行している。生成条件の集合が結果 E を生成する傾向 p をもつと述べることは、これらの正確な条件が無限に繰り返されるならば、E が極限相対頻度 p で生起する結果列を生成するであろう、ということを意味する。それゆえポパーにとっては、決定論的実験は各結果について傾向0または1をもつ。なぜならば、これらの生成条件は各試行で同じ結果をもつからである。言い換えれば、自明でない傾向(0と1とは異なる傾向)は、真に非決定論的な実験にのみ存在する。

デイヴィッド・ミラーやを含む他の多くの哲学者は、ポパーのそれと似た傾向理論を提案してきた。

他の傾向説論者()は、傾向を全く明示的には定義せず、むしろ傾向を、それが科学において果たす理論的役割によって定義されるものとみなす。たとえば、電荷のような物理量も、より基本的なものの観点からは明示的に定義できず、それらが行うこと(他の電荷を引き寄せたり退けたりするなど)の観点からのみ定義できる、と論じた。同様に、傾向とは、物理的確率が科学のなかで果たすさまざまな役割を満たすものなのである。

物理的確率は科学においていかなる役割を果たすか。その性質は何か。偶然の中心的性質の一つは、それが知られているとき、合理的信念を同じ数値をとるよう制約する、ということである。デイヴィッド・ルイスはこれを「主要原理」()と呼び(3.3 & 3.5)、この用語は哲学者の大半によって採用されている。たとえば、ある偏ったコインが投げられるたびに表が出る傾向を0.32もつと確信しているとしよう。すると、コインが表を出せば1ドルを支払い、そうでなければ何も支払わない賭けに対する正しい価格は何か。主要原理によれば、公正な価格は32セントである。

論理的・認識論的・帰納的確率

「確率」という用語が、物理的ランダム性とは無関係な文脈で時に用いられることは広く認識されている。たとえば、恐竜の絶滅はおそらく大きな隕石が地球に衝突したことによって引き起こされた、という主張を考えてみよう。「仮説 H はおそらく真である」のような言明は、(現在利用可能な)経験的証拠(たとえば E)が H を高い程度に支持する、と解釈されてきた。E による H のこの支持の程度は、E が与えられたときの H の「論理的」、「認識論的」、あるいは「帰納的」確率と呼ばれてきた。

これらの解釈のあいだの違いはかなり小さく、瑣末に見えるかもしれない。不一致の主たる点の一つは、確率と信念とのあいだの関係にある。論理的確率は(たとえばケインズの『確率論』において)命題(あるいは文)のあいだの客観的・論理的関係として構想され、それゆえいかなる仕方でも信念に依存しない。それらは(部分的)含意の程度、あるいは論理的帰結の程度であり、信念の程度ではない(にもかかわらず、後述するように、それらは適切な信念の程度を規定する)。他方フランク・ラムゼイは、こうした客観的論理的関係の存在に懐疑的であり、(証拠的)確率は「部分的信念の論理である」と論じた(p. 157)。言い換えれば、ラムゼイは認識論的確率が単に合理的信念の程度であるとし、合理的信念の程度を制約するにすぎない論理的関係である、とはしなかった。

別の不一致の点は、所与の知識の状態に相対的な、証拠的確率の「一意性」に関わる。たとえばルドルフ・カルナップは、論理的原理は常に、あらゆる証拠の主体に相対的に任意の言明に対して一意の論理的確率を決定する、と考えた。これに対してラムゼイは、信念の程度は(確率の公理を含む)ある合理的制約に従うが、これらの制約は通常一意の値を決定しないと考えた。言い換えれば、合理的な人々は、同じ情報をもっていても、その信念の程度においていくらか異なりうる、というのである。

予測

確率の代替的説明は「予測」の役割を強調する。すなわち、観察不可能なパラメータにもとづいてではなく、過去の観察にもとづいて将来の観察を予測することである。その現代的形式においては、これは主としてベイズ的な性格をもつ。これは20世紀以前は確率の主たる機能であったが、たとえば天体力学におけるように、現象を誤差とともに観測される物理系としてモデル化するパラメトリックなアプローチに比べて時代遅れになった。

現代的な予測的アプローチはブルーノ・デ・フィネッティによって開拓された。その中心的観念は「交換可能性」——将来の観察は過去の観察と同様に振る舞うべきだ——である。この見方は、1974年のデ・フィネッティの著書の翻訳によって英語圏の注目を引くようになり、それ以来のような統計学者によって主張されてきた。

公理的確率確率の数学は、いかなる解釈にも依存しない完全に公理的な基礎のうえに発展しうる。詳細な扱いについては確率論および確率の公理の記事を参照のこと。

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