ミルマン＝ペティスの定理

数学の関数解析学の分野におけるミルマン＝ペティスの定理（ミルマン＝ペティスのていり、）は、すべての一様凸なバナッハ空間は反射的であるという定理である。

概要 この定理は、空間の幾何学的な性質（一様凸性）が、位相的な性質（反射性）を導く重要な例として知られている。バナッハ空間が反射的であるとは、その空間から二重双対空間への自然な埋め込みが全射であることを意味する。

歴史的には、デヴィッド・ミルマン（1938年）D. Milman, On some criteria for the regularity of spaces of type (B), C. R. (Doklady) Acad. Sci. U.R.S.S, 20 (1938), 243–246.および B. J. ペティス（1939年）B. J. Pettis, A proof that every uniformly convex space is reflexive, Duke Math. J. 5 (1939), 249–253.によって独立に証明された。その後、1939年には角谷静夫が異なる手法による証明を与えS. Kakutani, Weak topologies and regularity of Banach spaces, Proc. Imp. Acad. Tokyo 15 (1939), 169–173.、1959年にはジョン・R・リングローズによってより簡潔な証明が発表されたJ. R. Ringrose, A note on uniformly convex spaces, J. London Math. Soc. 34 (1959), 92.。

なお、この定理の逆は成立しない。すなわち、反射的なバナッハ空間であっても、必ずしも一様凸空間と同型であるとは限らない。これについては、マーロン・M・デイ（1941年）が、いかなる一様凸空間とも同型にならない反射的バナッハ空間の具体例を構成している。

証明のスケッチ 現代的な証明の多くは、ヘリーの定理やを用いる。一様凸バナッハ空間 の二重双対空間 から任意の要素 （ただし ）を取る。ゴールドスタインの定理より、 の単位球内の点列 で に弱*位相で収束するものが存在する。一様凸性の定義を用いると、この点列がコーシー列であることを示すことができ、 の完備性から極限が 内に存在することが導かれ、埋め込み が全射であることが証明される。

参考文献 S. Kakutani, Weak topologies and regularity of Banach spaces, Proc. Imp. Acad. Tokyo 15 (1939), 169–173. D. Milman, On some criteria for the regularity of spaces of type (B), C. R. (Doklady) Acad. Sci. U.R.S.S, 20 (1938), 243–246. B. J. Pettis, A proof that every uniformly convex space is reflexive, Duke Math. J. 5 (1939), 249–253. J. R. Ringrose, A note on uniformly convex spaces, J. London Math. Soc. 34 (1959), 92.

脚注

関連項目 バナッハ空間 幾何学的バナッハ空間論 一様凸空間 反射的空間 角谷の定理