ハミルトン–ヤコビのフロー（英: Hamilton–Jacobi flow）またはハミルトン流とは、初期データから始まるハミルトン–ヤコビ方程式の粘性解が、時間の経過とともに変化していく過程を力学系における「流れ（フロー）」として捉えたものである。
通常、凸なハミルトニアン に対してホップ・ラックスの公式（Hopf-Lax formula）を通じて定義される非線形作用素の族 を指す。
定義 を凸かつ（超線形成長）を満たすハミルトニアンとし、 をそのルジャンドル変換（凸共役関数）とする。初期データ（関数） に対して、時刻 におけるハミルトン–ヤコビのフロー は、次のホップ・ラックスの公式によって定義される。
ここで、 は一般に有界かつリプシッツ連続な関数である。この作用素 は、初期状態 を時刻 におけるハミルトン–ヤコビ方程式の粘性解 へと写す写像である。
動機 古典的な力学系において、ハミルトン力学は相空間上の点の移動を記述する。これに対し、ハミルトン–ヤコビの方程式は「関数の進化」を記述する。
初期データ が時間の経過 につれて、ハミルトニアンの凸性などの性質に従い、空間上を流れるように変形していく様子から「フロー」と呼ばれる。このフローは半群の性質（）を満たし、非線形な拡散や波の伝播を解析する強力な道具となる。また、これは凸解析におけるモロー・ヨシダ近似の動的な拡張とも解釈できるVillani, C. (2003). Topics in Optimal Transportation. Graduate Studies in Mathematics, Vol. 58. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3312-4.。
性質 ハミルトン–ヤコビのフローは以下の重要な性質を持つ。
半群特性: であり、任意の に対して が成り立つ。 単調性: ならば、すべての について が成り立つ。 正則化作用: 初期データ が単に連続であっても、 において はリプシッツ連続（さらにハミルトニアンが厳密凸ならば半凹）となる性質を持つ。 変分構造: 各点 における値は、最小作用の原理に基づき、過去のすべての状態 からの最適コストの重ね合わせとして決定される。
関連項目 ハミルトン–ヤコビ方程式 粘性解 ホップ・ラックスの公式 ルジャンドル変換 半群
最適輸送理論
脚注