概凸関数（がいとつかんすう、）または近似凸関数（きんじとつかんすう、）、-凸関数（エプシロンとつかんすう、）とは、数学の近似理論や最適化問題において、凸関数の定義においてある定数 による誤差項の発生を許容するように概念を拡張・緩和した関数クラスである。1952年にとスタニスワフ・ウラム（D. H. Hyers & S. M. Ulam）によって導入されたHyers, D. H.; Ulam, S. M. (1952). "Approximately convex functions". Proceedings of the American Mathematical Society, 3(5), pp. 821–828.。
完全に凸ではないものの、ある一定の誤差の範囲内で凸性を維持しているような関数を指し、数値誤差を含む計算やヒューリスティックな最適化アルゴリズムの解析、ならびにウラムの安定性（Hyers–Ulam 安定性）の文脈で重要な役割を果たす。
動機 最適化問題や数値計算、データのサンプリングにおいて、対象となる関数が理論上は凸であっても、観測誤差や量子化誤差によって「小さな震え（ノイズ）」が生じることがある。このような関数に対して厳密な凸性を要求すると、解析が困難になる。
概凸関数の概念を導入することで、ミクロな視点では凸性が崩れていても、マクロな視点で凸関数の性質（局所的最適値が全体的最適値に近いなど）をどの程度維持しているかを定量的に評価することが可能になる。
また、関数方程式の分野において「ある条件を満たす近似的関数が存在するとき、その近傍に真の解が存在するか」というウラムの安定性問題が提唱されていた。ハイヤーズとウラムは、凸関数の定義を近似化した概凸関数を提示し、「任意の概凸関数は、ある真の凸関数によって一様に近似できるか」という安定性問題（ハイヤーズ–ウラムの定理）を肯定的に解決するために本概念を導入した。
定義 を実線型空間とし、 をその凸集合とする。与えられた非負の実数 に対し、関数 が任意の および任意の に対して次の不等式を満たすとき、 は 概凸関数（または 近似凸関数、-凸関数）と呼ばれる。
特に の場合、この定義は通常の凸関数の定義と完全に一致する。
性質 概凸関数は以下のような性質を持つ。
ハイヤーズ–ウラムの定理（真の凸関数による近似） 概凸関数の最も基本的な結果は、真の凸関数による一様近似可能性（安定性）に関する次の定理である。
定理（Hyers–Ulam, 1952） を 上の開凸集合とする。 がある に対して -凸関数であるならば、 上の適当な凸関数 とある定数 （次元 のみに依存する定数）が存在して、任意の に対して次が成り立つGreen, J. W. (1952). "Approximately convex functions". Duke Mathematical Journal, 19(3), pp. 499–504.。
この定理は、概凸関数が単に「凸関数に近い」だけでなく、適切な条件のもとでは「真の凸関数に定数倍の誤差範囲で一様近似できる」ことを保証している。
その他の性質 有界性: 定義式における誤差項 が一定であるため、大きなスケールでの挙動は通常の凸関数と類似する。 最適化の困難性: 厳密な凸関数とは異なり、概凸関数は小さな局所的最適値を多数持つ可能性がある。しかし、その値の差は のオーダーに抑えられる。
脚注
参考文献
関連項目 凸関数 凸解析 イェンセンの不等式 準凸関数 スタニスワフ・ウラム
最適化問題 数値解析