不定形

不定形（ふていけい、）は微分積分学における概念の一つ。大雑把な説明としては、関数の極限値が定まっている2つの関数があるときに、「極限をとってから2関数の(足し引きなどに代表される)代数的演算を行った」結果だけでは「2関数の代数的演算を行った後極限をとった」結果が定まらない関数同士の演算で得られる式を指す。不定形ではない演算では、例えば

という操作が可能であるが、2関数の極限をそれぞれとって演算を行った結果が例えば

のいずれかである場合、これらの形からだけでは極限が定まらない。

これらの極限値の実際の値は正や負の無限大かもしれないし、有限値に収束するかもしれないし、そもそも振動するかもしれない。具体的な振る舞いは演算対象となっている関数に依存する。一方で、明確に無限大に発散するような極限(例:)は不定形とはみなされない。「不定形」という用語は、19世紀中頃にフランスの数学者コーシーの学生によって導入された。

不定形の簡単な例として、分母・分子が共にで 0に収束する関数同士からなる分数関数でとする状況を考える。これは形式的にはの形の不定形であり、実際の収束先は関数形に依存する。 , , は全てこの形の不定形であるが、これらのでの極限値はそれぞれ , , とバラバラである。この例が示すように、は適切な関数のペアに依存してさまざまな値を取る。さらに驚くべきことに、そもそも極限値が存在しない場合も存在する。の例では、はでの極限値が存在しない。

したがって、2つの関数がある極限点で共に0に収束するという事実だけでは以下の極限

を定めることはできない。

0の0乗など、代数極限定理を適用する以外の方法で得られる式であっても不定形と同じ形式をとることがあるが、極限を求める文脈以外で得られた式を「不定形」と呼ぶのは適切ではない。なお、は不定形ではない。

不定形及び不定形ではないものの例

0/0: 不定形の形の不定形は、微分の定義式をはじめとして微分積分学でよく出現する。

前述の通り、

である(図1,2参照)。この結果だけでも、が不定形であることをだけならば十分である。この不定形の他の例として、

などもある(図3,4参照)。が近づく数をこれらの式のいずれかに直接代入すると、これらが不定形に対応する例であることがわかる。が実際には任意の複素数を取れることは、

により示される。図5ではとした時の状況が示されている。さらに、図6に示されるように、この不定形はに発散することもある:

不定形ではない例の形は通常は不定形とはみなされない。まず、となるの極限操作でとなるとした時、のとしたときの挙動は

に発散するに発散する極限値が存在しない

のいずれかで尽きている。いずれの場合も、絶対値はへと発散するので、は拡大実数の意味で発散する他なく、有限値に収束することはない。同様の議論により、なる実数のもとで、が不定形ではないことが示される。

他にも、は不定形ではない。の極限としてのは、の操作を行ってもが正のままであるという条件のもとで0を与える。一方、はの議論と同様の帰結となる。先のの符号に関する条件のもとではこの極限はである。

このことは数式で示すこともできる。とし、が成立しているとする。近傍でであるという条件のもとの自然対数を取ると、が得られる。のときであるため、形式的にとできる( は不定形ではない)。したがってが導かれる。

不定形の計算上で見たように、不定形であるからといって極限値が存在しないわけではない。多くの場合、代数的操作やロピタルの定理をはじめとした手法によって、実際の極限値を求めることが可能となる。

ロピタルの定理

ロピタルの定理は、やの不定形を計算する上で有用である。この定理の主張は、いくつかの条件のもとで

が成立するというものである(ここで、はそれぞれの導関数である)。これにより、代数的取り扱いが簡単になったり、極限値の導出ができたりする可能性がある。

ロピタルの定理はとの両方に適用可能であるが、一方の代数的簡略化がもう一方より簡単な場合もある。なお、の分母・分子をで割ることで、へと移ることができる。

0/0や∞/∞への変換ロピタルの定理の利用などの目的では、不定形をやへ変換できると便利な場合がある。いくつかの不定形においては、以下の変形を施すことでその便利な形へと変換することができる。不定形条件への変換への変換N/AN/A

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