擬行列式

線型代数学および統計学において、擬行列式（ぎぎょうれつしき、 PDF）とは、正方行列の非零固有値すべての積である。非特異行列（可逆行列）においては、擬行列式は通常の行列式と一致する。

定義正方行列の擬行列式は以下のように定義される：

ここで、は通常の行列式、は単位行列、は行列の階数を表わす。

Vahlen行列を用いた擬行列式の定義共形変換の一種であるメビウス変換 (i.e. for )のVahlen行列はと定義される。この変換のVahlen行列の擬行列式は以下の式で与えられる。

の場合、この変換は向きを保存する（回転変換）が、の場合は向きを反転させる（鏡映変換）。

正半定値行列の場合の計算法が半正定値行列である場合、の特異値と固有値は一致する。この場合、特異値分解（SVD）が可能であれば、は非ゼロ特異値の積として計算できる。すべての特異値がゼロの場合、擬似行列式は1となる。

と仮定する。ここでは非零特異値の個数である。このとき、行列行列を用いてと表せる。ここでダガー記号は共役転置を表す。の特異値はの特異値の二乗に等しいため、が成り立つ。ここではk次元における通常の行列式である。さらに、をブロック列と表記した場合、ブロックとの高さに関わらず、常にが成立する。

統計学における応用例分散共分散行列の行列式を用いて分布を比較する統計学的手法において、分散共分散行列が特異行列の場合には行列の階数と擬似行列式を組み合わせた方法で比較を行うことができる。この際、階数が高い行列は最大の行列式をもつものとみなし、ランクが等しい場合に比較にのみ擬似行列式を使用する。このため、共分散行列が特異行列である場合、統計ソフトウェアの出力結果において擬似行列式が提示されることがあるBohling, Geoffrey C. (1997) "GSLIB-style programs for discriminant analysis and regionalized classification", Computers & Geosciences, 23 (7), 739–761 。特に、非特異行列とは限らない共分散行列Σを持つ多変量正規分布の正規化表現は以下のように記述できる。

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