超伝導量子コンピューティング（ちょうでんどうりょうしコンピューティング、）は、量子コンピューティングと固体物理学の一分野であり、量子プロセッサ内の量子ビットとして超伝導電子回路を用いる。これらのデバイスは通常、ジョセフソン接合を含むマイクロ波帯の電子回路であり、固体チップ上に作製される。
超伝導回路は、量子コンピュータにおける従来型コンピュータのビットに相当する量子ビットを物理的に実装する多くの方式の1つである。量子ビットは2状態の量子力学系を指し、基底状態と励起状態という2つの論理状態を持ち、しばしば（基底状態と励起状態）、あるいはと表記される。超伝導量子コンピューティングの実装は「固体」量子コンピュータに分類され、量子ビットが固体デバイスに本質的に組み込まれている。固体量子コンピュータはまた、固体古典計算のために開発された作製技術も利用している。
超伝導アーキテクチャは、量子処理装置（QPU）を開発する上で業界の主流となっている手法である。超伝導量子コンピューティングの研究は、Google、IBM、IMEC、BBN Technologies、Rigetti、Intelなどの企業によって行われている。超伝導量子ビットの代替方式には、トラップイオンやを用いるものがある。
超伝導量子コンピューティングにおける現在進行中の研究には、デバイスレベルの改良、誤り訂正手法の開発、および古典コンピュータの性能と量子プロセッサの性能を比較することによる量子優位性の実証が含まれる。
歴史 量子コンピュータは、リチャード・ファインマンによって最初に提案された。彼は1982年に、他の量子系の性質をシミュレートし理解するためにこのようなコンピュータを用いることを提案した。1990年代には2つの量子アルゴリズムが発表され、量子コンピュータの実現への関心をさらに高めた。ピーター・ショアは、整数の素因数を求めるための量子アルゴリズムであるショアのアルゴリズムを提案した。これは理論上、RSA暗号を破ることができるものであった。同様に、ラヴ・グローバーは、二次的な高速化によって行うことができる二分探索の代替となるグローバー探索アルゴリズムを提案した。
当時、超伝導量子回路はすでに高感度のSQUIDデバイスの構築に用いられており、量子化されたエネルギー準位のような巨視的量子現象の実証にも使われていた。これらの超伝導量子ビットが量子計算の実現に利用できることが明らかになっていった。これは特に、既存の作製技術を応用できるという事情もあり、こうした「固体」的な量子コンピューティングへのアプローチが、NMR（核磁気共鳴）量子コンピューティングなど当時の他の手法よりもはるかに実現性が高いとみなされていたためでもある。
1999年、中村泰信によって最初の超伝導量子ビットを実証する論文が発表された。これはの一種であり、現在では「電荷量子ビット」として知られている。この設計自体は1997年にサクレーのチーム（ミシェル・デヴォレを含む）によって提案されていたが、この論文は量子ビットの基底状態と励起状態の間のラビ振動という形で、コヒーレントな制御と読み出しを初めて示したものであった。しかしこの最初の成果の後でさえ、超伝導量子ビットが実用的であるかどうかは不明であり、そのシステムは真に量子情報を保持できるものではないと主張する者もいた。問題の一因は、この初期設計がコヒーレンスを維持できる時間が1ナノ秒未満であり、いかなる計算を行うにも不十分だったことにある。
その後の数年間で、、磁束量子ビット、クアトロニウム、トランズモン量子ビット、フラクソニウムなど、他のいくつかの超伝導量子ビットが考案された。量子ビットの設計、材料科学、作製技術における相次ぐ進歩により、コヒーレンスは20年間でおよそ5桁向上した。2007年に導入されたトランズモン設計は電荷ノイズへの感度を低減し、それ以来、IBM、Google などが展開する超伝導量子コンピューティングプロセッサの主流アーキテクチャとなっている。トランズモンのコヒーレンス時間はの範囲にまで達したが、その後このアーキテクチャでのさらなる向上は10年近く停滞した。2021年には、フラクソニウム量子ビットが1ミリ秒を超えるコヒーレンス時間を達成し、1桁の改善となった。2025年には、読み出しと設計における進展により、超伝導トランズモン量子ビットもミリ秒単位のコヒーレンス時間に到達した。
Googleは2016年、16量子ビットを用いてフェルミ・ハバード模型の実証を行った。別の実験では、Googleは17量子ビットを用いてシェリントン・カークパトリック模型を最適化した。2019年、Googleは古典コンピュータでは1万年かかるとGoogleが主張する処理を200秒で実行したSycamore量子コンピュータを発表した。このタスクはランダム回路サンプリングであり、「量子超越性」あるいは量子優位性の主張においてよく用いられるベンチマークである。
2025年時点で、超伝導量子プロセッサは1,000量子ビットを超えており、最大のものは1,121量子ビットの量子プロセッサであるIBM Condorである。2025年、GoogleはWillowプロセッサを用いて、独立に検証可能な量子優位性としては最初期の例の1つを発表した。
背景 量子コンピューティング
古典的な計算モデルは、古典力学の法則と整合的な物理的実装に依拠している。非常に小さな系や、極端な条件下にある特定の系は、それとは異なる物理法則に従う量子力学によって記述される。
量子計算とは、情報を符号化する目的で量子系を構築する方法である。量子コンピュータの応用としては、古典的な近似の範囲を超えた量子現象のシミュレーションや、特に「オラクル」を伴う特定の計算の高速化が挙げられる。グローバー探索やショアのアルゴリズムなど量子コンピュータ向けに設計された特定のアルゴリズムは、古典的な対応物よりも優れた計算を行えると考えられている。
ゲート方式の量子コンピューティングは、従来のコンピューティングと同様に、量子ビット（ビットに相当）と量子ゲート（古典ゲートに相当）を用いる量子コンピューティングの方法である。
量子ビット
量子ビットとは、量子力学における任意の2準位系である。古典的なビットと同様に、2つの可能な量子状態を持つ系であるが、量子力学の法則に従うため、両方の状態の量子重ね合わせを占めることができるという点が異なる。
量子ビットを物理的に構築するための第一の要件は、この場合エネルギー準位である最初の2つの状態を個別にアドレスできる能力である。ほとんどの系はほぼ無限のエネルギー準位を持つため、これは困難である。超伝導量子コンピュータでは、これらの量子ビットは超伝導共振回路を用いて構築される。それぞれの超伝導量子ビットは、本質的にはコンデンサとジョセフソン接合（非線形のインダクタンスを持つ超伝導素子）からなる非線形のLC回路である。回路が非線形であるため、そのエネルギー準位の間隔は不均一であり、最初の2つの状態を個別にアドレスすることが可能になる。
理論上、その非線形性のため、量子ビットは基底状態から励起状態へ遷移するために必要なエネルギー差を持つ光子によってのみ影響を受ける。しかし実際には、系内のノイズによって計算部分空間から外れてしまうことがある。多くの場合、超伝導量子ビットのより高いエネルギー準位を考慮する必要がある。これは、設計上アンハーモニシティが弱いトランズモンにおいて特に当てはまる。
回路は超伝導であるため抵抗はゼロであり、エネルギーをほとんど散逸しない。しかしこれは、極めて低い動作温度という代償を伴う。
量子ゲート
量子ゲートとは、量子ビットを初期状態から別の状態（多くの場合重ね合わせ状態）へと変換することを記述する論理ゲートの一般化である。
超伝導量子ビットでは、量子ゲートはマイクロ波共振器を用いて回路に印加される微視的なパルスとして実装される。パルスは量子ビットに容量結合された共振器を通じて送られる。これらの共振器は量子ビット自体からデチューンされた調和振動子である。量子ビットに外部からの駆動を印加することで、系の通常のユニタリ発展が一定の時間経過後に単一量子ビットゲートを実装する。
iSWAPゲートなどの2量子ビットゲートは、2つの量子ビット間のコヒーレント交換またはパラメトリック結合によって実現できる。コヒーレント交換では、一方の量子ビットの遷移周波数が、もう一方の量子ビットの遷移周波数と一致するように調整される。この方式は量子ビットの周波数可変性に依存しており、固定周波数の場合には機能しない。一方パラメトリック結合は、2つの量子ビット間の結合定数を、両者の周波数の和または差で変化させることによって行われる。
実用的な量子プロセッサのための基準 量子ビットの物理的な実装方法は数多く存在し、超伝導回路はその1つである。ある実装方式が量子コンピュータの構築に有効であるとみなされるための基準の1つがディヴィンチェンゾの基準であり、これは超伝導量子コンピューティングの物理的実装に関する一連の基準である。最初の5つの基準は量子コンピュータが量子力学の公理に整合していることを保証するものであり、残りの2つはこの情報をネットワーク上で伝達することに関するものである。
超伝導量子ビットはすでにディヴィンチェンゾの基準の多くを満たしている。作製の観点からすでに高いスケーラビリティを備えており、熱緩和によって初期化することができ、単一量子ビットゲートと2量子ビットゲートを組み合わせることで普遍的なゲート集合を形成する。しかし、超伝導量子ビットは依然としてコヒーレンス時間が短いという課題を抱えており、量子情報を保持することが難しい。
超伝導体
超伝導量子ビットは超伝導金属材料でできた回路である。超伝導とは、一部の金属で低温において生じる現象であり、材料内で電流がゼロ抵抗を経験し、電流がエネルギー損失なしに、ほぼ散逸なしに流れることを可能にする。
この現象が生じるのは、基本的な電荷担体が、通常の導体に見られるような単一の電子ではなく、電子の対（クーパー対として知られる）であるためである。単一の電子は半整数スピンを持つフェルミ粒子であるのに対し、電子のクーパー対は整数スピンを持つボース粒子であり、そのためパウリの排他原理にはもはや従わず、これらのクーパー対は同じ状態を占めることができる。特定の条件下では、これにより電子対はボース＝アインシュタイン凝縮として知られる物質の状態を形成することができ、この凝縮体中では電子対のすべてが空間内で同じ位置を占め、等しい運動量を持つ。このように、電子対同士を区別するものは何もなく、それらは同じ状態を占める。その結果、電子対は単一の波としてコヒーレントに移動し、通常抵抗の原因となる格子中の乱れを迂回する。こうして超伝導体は、ほぼ無限の導電率とほぼゼロの抵抗を持つことになる。
超伝導は一般に絶対零度付近でのみ生じる。これは、その温度では電子同士が反発し合うよりも対を成す方がエネルギー的に有利になるためである。これが、超伝導量子ビットを極低温まで冷却しなければならない主な理由の1つである。
超伝導電気回路 超伝導電気回路とは、単一の凝縮体波動関数によって記述される電気素子のネットワークであり、電荷の流れはある複素数の確率振幅によって明確に定義される。回路における量子化は、超伝導ループを貫通できる磁束量子の数が離散的であることに起因する、複素振幅の連続性から生じる。超伝導回路のパラメータは、それを構成する静電容量やインダクタンスといった電気素子に（古典的な）値を設定することによって設計される。
ジョセフソン接合
超伝導量子回路の特徴的な要素の1つがジョセフソン接合であり、これは通常の導体には存在しない電気素子である。この接合は、わずか数原子分の厚さしかない絶縁体材料の薄い層を挟んだ、2つの超伝導体間の弱い結合である。得られるジョセフソン接合素子はジョセフソン効果を示し、接合の両側にある凝縮体波動関数は弱く相関する。電流は量子トンネル効果によって接合を通り抜ける。
ジョセフソン接合は非線形のインダクタンスを示し、これによりエネルギー準位が不均一な間隔で離散化（量子化）された非調和振動子が可能になる。対照的に、量子調和振動子は、すべてのエネルギー準位の間隔がまったく同じであるため、2つの状態だけをアドレスする方法がなく、量子ビットとしては使用できない。
いずれの量子ビット実装においても、論理量子状態は物理系の異なる状態（通常は離散的なエネルギー準位あるいはそれらの量子重ね合わせ）にマッピングされる。異なる超伝導量子ビットの設計は、それぞれ異なる範囲のジョセフソンエネルギーと充電エネルギーの比を持つ。ジョセフソンエネルギーとは電流が流れる際にジョセフソン接合に蓄えられるエネルギーを指し、充電エネルギーとは1つのクーパー対が接合の全静電容量を充電するために必要なエネルギーである。ジョセフソンエネルギーは次のように書ける。
ここではジョセフソン接合の臨界電流パラメータ、は（超伝導）磁束量子、は接合両端の位相差である。という項がジョセフソン接合の非線形性を示していることに注意されたい。充電エネルギーは次のように書ける。
ここでは接合の静電容量、は電気素量である。 回路の量子化 回路の量子化とは、電気回路の量子力学的な記述を得るための方法である。最終的な結果は、系のエネルギーを記述するハミルトニアンであり、そこから基底状態や励起状態などの他の性質を導き出すことができる。
回路の量子化においては、回路内のすべての電気素子が、電流と電圧ではなく、凝縮体波動関数の振幅と位相の観点から書き直される。次に、一般化されたキルヒホッフの法則を回路網の各節点に適用し、系の運動方程式を得る。最後に、これらの運動方程式はラグランジュ力学へと再定式化され、系の全エネルギーを記述する量子ハミルトニアンが導出される。
回路量子電磁力学
共振器に結合した超伝導電気回路の性質は、回路量子電磁力学（cQED）という枠組みによって記述される。超伝導量子ビットは一般に、環境ノイズから保護し、また互いに結合させるために共振器に接続される必要がある。cQEDの枠組みは空洞量子電磁力学と似ており、ほぼ同じ手法を用いる。物理的な実装では、共振器としてはチップ上の共平面導波路読み出し共振器、超伝導LC共振器、あるいは高純度の空洞が用いられるのが一般的である。
ハードウェアと技術 超伝導量子コンピューティングデバイスは通常、無線周波数帯域で設計され、15 mK以下に希釈冷凍機で冷却され、周波数シンセサイザやスペクトラムアナライザといった一般的な電子計測機器でアドレスされる。典型的な寸法はマイクロメートルの範囲にあり、サブマイクロメートルの分解能を持つため、確立された集積回路技術を用いてハミルトニアン系を都合よく設計することができる。
製造
超伝導量子ビットの製造は、リソグラフィ、金属の堆積、エッチング、および制御された酸化を伴うプロセスに従って行われる。このプロセスは、商用シリコンコンピュータチップに用いられるCMOS（相補型金属酸化膜半導体）製造工程と類似しているが、同一ではない。主な違いは、拡大が難しく歩留まりの低い光リソグラフィ技術ではなく、電子ビームリソグラフィを用いる点である。しかし、電子ビームを用いるとはるかに鮮明な分解能が得られ、これは特定のデバイス設計にはしばしば必要となる。
超伝導回路の作製に用いられる超伝導体は通常、シリコン基板上に堆積されたアルミニウムであるが、どちらもd帯超伝導体であるニオブやタンタルが使われることもある。
作製技術の向上は超伝導量子ビットの寿命を改善し続けており、2000年代初頭以降大きな進歩を遂げている。
冷却 超伝導回路を低温に保つために極低温の希釈冷凍機が用いられる。これらは15 mK以下の温度まで冷却される。超伝導そのものはこの温度より前に発現するが、回路内には多数の熱的な準粒子が存在しており、これが回路の超伝導性を妨げることがある。これらのいわゆる「平衡準粒子」は、より低い温度では指数関数的に抑制される。したがって、回路をできる限り低い温度まで冷却することが望ましい。
希釈冷凍機の内部では、超伝導回路はさまざまなフィルタやアンプに接続されており、これにより冷凍機の外にいる観測者から量子ビットを読み出すことができる。
量子ビットの種類
位相量子ビット、磁束量子ビット、電荷量子ビット 超伝導量子ビットの主要な3つの原型は、、、量子ビットである。これらの原型は、基礎となるジョセフソン・ハミルトニアンの極限にそれぞれ対応する。ハミルトニアンがどの極限にあるかによって、量子ビットのどの側面がよく定義されるかが決まる。量子ビットの原型の選択は、量子ビットの遷移周波数、非調和性（非線形性）、およびノイズへの感受性に影響する。
この3つの原型のうち、位相量子ビットは接合をトンネルできるクーパー対が最も多く、次いで磁束量子ビット、電荷量子ビットが最も少ない。
電荷量子ビット
電荷量子ビットはクーパー対箱としても知られ、ジョセフソンエネルギーと充電エネルギーの比のオーダーはである。電荷量子ビットでは、異なるエネルギー準位が、超伝導アイランド（電荷担体の数を制御可能な小さな超伝導領域）上の整数個のクーパー対に対応する。実際、最初に実験的に実現された量子ビットは、1999年に達成されたクーパー対箱であった。
磁束量子ビット
磁束量子ビット（持続電流量子ビットとも呼ばれる）は、ジョセフソンエネルギーと充電エネルギーの比のオーダーがである。磁束量子ビットでは、エネルギー準位は、超伝導リング内に捕捉された磁束量子の異なる整数個数に対応する。
位相量子ビット
位相量子ビットは、ジョセフソンエネルギーと充電エネルギーの比のオーダーがである。位相量子ビットでは、エネルギー準位は、ジョセフソン接合両端の異なる量子的な電荷振動振幅に対応し、電荷と位相はそれぞれ、量子調和振動子における運動量と位置に類似したものとなる。ここでの「位相」とは、超伝導波動関数の複素偏角（超伝導秩序変数とも呼ばれる）のことであり、量子ビットの異なる状態間の位相とは異なる点に注意されたい。
+超伝導量子ビットの原型 RF-SQUID量子ビット（磁束量子ビットの原型） 回路 ハミルトニアンこの場合は接合をトンネルするクーパー対の数、はクーパー対の数の単位で表したコンデンサ上の電荷、は静電容量とジョセフソン接合の静電容量の両方に伴う充電エネルギーである。はより大きな値のみを取ることが許され、インダクタンスに沿った電圧の時間積分として代わりに定義されることに注意されたい。ここでは磁束量子である。 ポテンシャル 上の表では、3つの超伝導量子ビットの原型を概観している。1行目には量子ビットの電気回路図が示されている。2行目は回路から導出された量子ハミルトニアンを示している。一般に、ハミルトニアンは（ポテンシャル井戸内の粒子に類似した）系の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの成分の和である。示されたハミルトニアンにおいて、は接合両端の超伝導波動関数の位相差、はジョセフソン接合に伴う静電容量、は接合の静電容量上の電荷である。示された各ポテンシャルについて、計算に用いられるのは実線の波動関数のみである。量子ビットのポテンシャルは太い赤線で示され、模式的な波動関数の解は細い線で示され、見やすくするためにそれぞれ適切なエネルギー準位まで持ち上げて描かれている。
粒子の質量は回路の静電容量の逆関数に対応し、ポテンシャルの形状は通常のインダクタとジョセフソン接合によって決まることに注意されたい。表の3行目にある模式的な波動関数の解は、位相変数の複素振幅を示している。具体的には、量子ビットがある特定の状態を占めているときにその位相を測定すると、描かれた波動関数が振動している場所でのみ、特定の値を測定する確率がゼロでない値を持つ。これら3つの行はいずれも、同一の物理系の異なる提示方法にすぎない。
ハイブリッド化 超伝導量子ビットの3つの中核的な形態（位相、電荷、磁束）は歴史的に超伝導量子ビットが分類されてきた方法であるが、現代の超伝導量子ビットのほとんどはこれらの原型のハイブリッドである。これらの原型のハイブリッドには、フラクソニウム、トランズモン、Xmon、クアトロニウムなど多くの種類が存在する。
トランズモン
トランズモンは、ノイズを軽減するために特別に設計された、コンデンサをシャントした特殊な種類の量子ビットである。トランズモン量子ビットのモデルは、クーパー対箱に基づく電荷・位相ハイブリッド量子ビットである。ジョセフソンエネルギーと充電エネルギーの比を大きくすることで、ノイズが軽減される。 トランズモンのハミルトニアンは以下の通りである。
ここでnはアイランド間で移動したクーパー対の数、は接合両端の位相差である。
2つのトランズモンは結合コンデンサを用いて結合することができる。この2量子ビット系のハミルトニアンは次のように書かれる。
ここでは電流密度、は表面電荷密度である。
トランズモン量子ビットは現代の超伝導量子ビットの中で最も人気のある設計であり、105個の物理トランズモン量子ビットを搭載したGoogleのWillowプロセッサなどの超伝導量子プロセッサに実装されている。トランズモン量子ビットを使用する他の企業には、IBM、Rigetti、IQMがある。
トランズモン量子ビットの物理的設計は実装によって異なる場合がある。一般的なトランズモン設計には、Xまたはクロスのような形をした「トランズモン・クロス」や、隣り合う2つのパドルを含む「パドル・トランズモン」がある。
トランズモン系量子ビット トランズモン設計には多くのバリエーションが存在し、活発な研究分野となっている。それらはトランズモン設計の欠点を改善することを目指している。
Xmon
Xmonは平面型トランズモンモデルに基づいて生まれたという点で、トランズモンと設計上似ている。Xmonは本質的には可変（チューナブル）トランズモンである。トランズモンとXmon量子ビットの主な違いは、Xmon量子ビットがコンデンサパッドの一方で接地されている点である。
ゲートモン トランズモン量子ビットのもう1つのバリエーションがゲートモンである。Xmonと同様に、ゲートモンもトランズモンの可変版である。ゲートモンはゲート電圧によって調整可能である。
ユニモン ユニモンは、（超伝導）共振器内で線形インダクタ（電流に依存しないインダクタンスを持つ）によってシャントされた単一のジョセフソン接合からなる。ユニモンはアンハーモニシティが増大しており、動作時間が高速であるため、ノイズ誤りへの感受性が低下している。ユニモン量子ビットはまた、磁束ノイズへの感受性が低下しており、直流電荷ノイズには全く影響を受けない。しかし、ユニモン量子ビットは可変範囲が限られている。
ユニモン量子ビットは2022年にIQM Quantum Computers、アールト大学、フィンランドのVTT技術研究センターの研究者らによって初めて定式化されたもので、現在も設計の研究段階にある。
フラクソニウム
フラクソニウム量子ビットは、そのジョセフソン接合が（ここで）を満たす線形インダクタでシャントされた、磁束量子ビットの一種である。実際には、この線形インダクタは通常、直列に接続された多数（しばしばにもなる）の大面積ジョセフソン接合からなるジョセフソン接合アレイによって実装される。この条件下では、フラクソニウムのハミルトニアンは次のように書ける。 。
フラクソニウム量子ビットの重要な特性の1つは、半磁束スイートスポットにおける量子ビットの寿命がより長いことであり、1ミリ秒を超えることもある。スイートスポットでバイアスした場合のフラクソニウム量子ビットのもう1つの重要な利点は、その大きな非調和性である。ここでの非調和性とは、超伝導回路におけるエネルギー準位の不均一な間隔を指す。大きな非調和性は、高速な局所マイクロ波制御を可能にし、スペクトルの混雑問題を軽減してスケーラビリティを向上させるため有益である。
0-πキュービット 0-π量子ビットは、論理状態が回路の対称性によって保護される保護型量子ビット設計である。この量子ビットの論理状態は、緩和に対して指数関数的に保護されており、電荷（磁束）ノイズによるデフェージングに対しても1次のオーダーで指数関数的に保護されている。しかしこの理想的な振る舞いは、名目上同一の回路素子間でパラメータのばらつきがゼロになることを要求するため、必ずしも現実的ではない。
動作と読み出し
単一量子ビット 超伝導量子ビットのエネルギー準位間のGHz帯のエネルギーギャップは、テラヘルツギャップ（より高い周波数帯における機器の不足）のため、既存の電子機器と互換性を持つように設計されている。BCS理論が示す超伝導体のエネルギーギャップは、約1THz以上ではクーパー対が壊れてしまうという動作の上限を意味しており、そのためエネルギー準位の間隔をあまり高くすることはできない。一方で、冷却の観点からエネルギー準位の間隔をあまり小さくすることもできない。1Kの温度は20GHzのエネルギー揺らぎを意味する。希釈冷凍機では数十ミリケルビンの温度が達成され、約5GHzのエネルギー準位間隔での量子ビット動作が可能になる。量子ビットのエネルギー準位間隔は、専用のバイアス電流ラインを制御することによって頻繁に調整され、量子ビットのパラメータを微調整する「ツマミ」として機能する。
単一量子ビットゲート
単一量子ビットゲートは、ブロッホ球上の回転によって実現される。単一量子ビットの異なるエネルギー準位間の回転は、準位間のエネルギー差に共鳴する周波数で、量子ビットに結合されたアンテナまたは伝送線路に送られるマイクロ波パルスによって誘起される。個々の量子ビットは、専用の伝送線路によって、あるいは他の量子ビットが共鳴から外れている場合には共有の伝送線路によってアドレスすることができる。回転軸はマイクロ波パルスの直交振幅変調によって設定され、パルス長は回転角を決定する。
より形式的には（の記法に従う）、駆動信号
の周波数をとすると、回転波近似における駆動量子ビットハミルトニアンは
となる。ここでは量子ビットの共鳴周波数、はパウリ行列である。
軸周りの回転を実装するには、とし、時間だけ周波数でマイクロ波パルスを印加すればよい。得られる変換は
である。
これはまさに、ブロッホ球上で軸周りに角度だけ回転させる回転演算子である。軸周りの回転も同様の方法で実装できる。任意の単一量子ビットユニタリ演算子は、分解と呼ばれる手順によって（物理的には無関係な大域的位相を除いて）として表せるため、この2つの回転演算子を示すことは普遍性を満たすのに十分である。と設定すると、変換は
となり、大域的位相を除いてNOTゲートとして知られている。
複数量子ビット
量子ビットを結合する能力は、2量子ビットゲートを実装する上で不可欠である。2つの量子ビットの結合は、両者を中間的な電気結合回路に接続することで実現できる。この回路は、コンデンサのような固定素子であってもよいし、DC-SQUIDのように制御可能なものであってもよい。前者の場合、ゲートがオフに切り替えられている間の量子ビットのデカップリングは、量子ビット同士を互いに共鳴から外すように調整し、それぞれの計算状態間のエネルギーギャップを異ならせることで実現される。このアプローチは、結合される量子ビット間に物理的な電気回路を配置する必要があるため、本質的に最近接結合に限定される。特筆すべきこととして、D-Wave Systemsの最近接結合は、キメラグラフ構成において8量子ビットの高度に接続された単位セルを実現している。量子アルゴリズムは通常、任意の量子ビット間の結合を必要とする。その結果、複数回のスワップ操作が必要となり、プロセッサのデコヒーレンスが生じるまでに可能な量子計算の長さが制限される。
ハイゼンベルク相互作用 次のように書かれるハイゼンベルクモデルの相互作用は、