アリストテレス的実在論（アリストテレスてきじつざいろん、）とは、数学の哲学における立場のひとつであり、数学が研究するのは、物理的世界（あるいはありうる他のいかなる世界）において内在的に実現されうる対称性・連続性・順序などの性質である、と説く。数のような数学の対象は「抽象的な」世界に存在するのではなく、物理的に実現されうると考える点で、この立場はプラトニズムと対照的である。また、数学とは単なる名称や、推論・計算の方法についてのものではなく、世界の一定の実在的な側面についてのものであると考える点で、唯名論・虚構主義・論理主義とも対照的である。
アリストテレス的実在論者は、純粋数学よりもむしろ応用数学、とりわけ数理モデリングこそが哲学的に最も重要であると重視する。は、数学的事実それ自体が物理的世界についてのものである以上、「アリストテレス的実在論は、数学的事実が科学における特有の数学的説明のなかで説明項となることを可能にする」と論じている。は、アリストテレス的実在論を「精神と科学について知られていることに最もよく適合する、現在の数学の哲学」であると評している。
歴史 アリストテレスは数学の哲学について詳細な著述を残さなかったが、この主題に関する彼の様々な言及は、数学を抽象についてのものであると同時に、空間や計数という現実世界にも適用可能なものとみなす、一貫した見解を示している。
18世紀に至るまで、最も一般的な数学の哲学は、数学を「量の科学」とみなすアリストテレス的見解であり、量は（幾何学によって研究される）連続量と、算術によって研究される離散量とに分けられていた。
20世紀にはアリストテレス的な数学の哲学へのアプローチは稀であったが、が著書『Realism in Mathematics』（1990年）において、また2000年以降には、アン・ニューステッドA.G.J. Newstead, (2001). "Aristotle and modern mathematical theories of the continuum", in D. Sfendoni-Mentzou, J. Hattiangadi, and D.M. Johnson (eds), Aristotle and Contemporary Science, Peter Lang, 113-129.、をはじめとする多くの著者によって再興された。
数と集合 （基数、すなわち計数のための）数についてのアリストテレス的見解は、ある集まりや集合の数はどのような単位や尺度を選ぶかによって相対的であるという、アリストテレスの指摘に始まる。「『数』とは、測定された多数性であり、また尺度の多数性である……尺度は常に、それが測るすべてのものについて述語づけられる、何らか同一のものでなければならない。例えばそれらのものが馬であれば、尺度は『馬』である」Aristotle, Metaphysics 1088a4-11.。グレン・ケスラーはこれを発展させ、数とは集まりと、それを単位に分割する普遍との間の関係であるとする見解を示した。例えば数4は、オウムの集まりと、その集まりをオウムという単位に分割する普遍「オウムであること」との間の関係として実現される。
アリストテレス的見解では、比は基数と密接には結びついていない。比は、高さのような量どうしの間の関係である。2つの高さの比は、2つの質量あるいは2つの時間間隔の間の関係と同一でありうる。
アリストテレス主義者は、数だけでなく集合についても、（プラトニズム的な実体としてではなく）物理的世界において実例化されているとみなす。マディは、卵のパックを開けたとき、3個の卵の集合（すなわち物理的世界において実現された数学的実体）が知覚される、と論じた。しかし、あらゆる数学的言説が実在論的に解釈される必要があるわけではない。例えばアリストテレス主義者は、空集合やゼロを虚構とみなす場合があり、より大きな無限についても同様でありうる。
構造的性質
アリストテレス主義者は、対称性・連続性・順序のような非数的な構造的性質を、数と同じくらい重要なものとみなす。こうした性質は物理的現実において実現されており、数学の一部の分野の主題をなす。例えば群論は対称性のさまざまな種類を分類し、微分積分学は連続的な変化を研究する。こうした構造についての証明可能な結果は、物理的現実に直接適用されうる。例えばオイラーは、ケーニヒスベルクの七つの橋を一度ずつだけ渡って一周することが不可能であることを証明した。
認識論 数学的性質は物理的世界において実現されているため、直接に知覚することができる。例えば人間はを容易に知覚する。
アリストテレス主義者はまた、数学的思考における抽象化と理想化の役割も認める。この見解は、精神が数学において研究する性質を思考のうちで「分離抽出」し、変化する世界から切り離して物体の時間を超えた性質を考察する、というアリストテレスの『自然学』（第2巻第2章193b31-35）における記述にさかのぼる。
より高度な数学の水準においては、アリストテレス主義者はアリストテレスの『分析論後書』の理論に従う。それによれば、数学的命題の証明は、理想的には読者がその命題がなぜ真でなければならないかを理解できるようにするものである。
批判 フランクリンのアリストテレス的実在論は、これに異を唱える人々からの批判を受けてきた。場合によっては、支持者がこうした批判に応答してきた。これらの異論のうちいくつかは、誰かが具体的にその理論に向けて提起したというよりも、フランクリン自身が自らの理論に対する潜在的な問題として予期していたものである。
理想化 ジェームズ・フランクリンの著書（第14章）でピンコック、サーツィ、バターマンの議論を踏まえて長く予期されている異論は、数学が扱うのは物理的世界そのものではなく、その理想化である、というものである。アリストテレス自身、幾何学者は完全な円を研究するが現実世界の輪は完全な円ではないため、数学は何らかの非物理的な（プラトン的な）世界を研究しているに違いないように思われる、という議論を認識していたAristotle, Metaphysics 997b35-998a4.。アリストテレス主義者はこれに対し、応用数学が研究するのは理想化ではなく近似であり、その結果として現代数学は現実の事物の複雑な形状やその他の数学的構造を研究できるのだと反論するA.Newstead, J. Franklin, (2009). "The Epistemology of Geometry I: The Problem of Exactness", ASCS09 Proceedings of the 9th Conference of the Australasian Society for Cognitive Science, Sydney, 254-260, Article DOI: 10.5096/ASCS200939.。
バラガーによる、より高次の無限からの異論 アリストテレス的実在論にとっての一つの問題は、物理的世界において実現されない、あるいは実現不可能でありうる、より高次の無限をどう説明するかである。マーク・バラガーは次のように述べている。 「集合論は、自然数全体の集合のようなありふれた無限集合をはるかに凌駕する、途方もなく巨大な無限集合の存在にコミットしている。このような巨大な無限集合についての話を、物理的対象についてのものとして解釈できるもっともらしい方法は存在しない」。
アリストテレス主義者はこれに対し、諸科学は非実例化の普遍を扱うことができると反論する。例えば色の科学は、実際にはどの現実の対象にも生じていない青の色合いを扱うことができる。しかしこれには、ほとんどのアリストテレス主義者が支持する、あらゆる真正な性質は実例化されているとする例化原理を否定することが必要になる。フレーゲによる意義と意味の区別に基づいて例化原理を否定する、数学の哲学におけるアリストテレス主義の哲学者の一人がドナルド・ギリースである。彼はこのアプローチを用いて、アリストテレス的観点から非常に大きな超限基数を扱う方法を開発した。
ウィリアム・レーン・クレイグによる有神論的異論 は、著書『God and Abstract Objects』の第5章において、ジェームズ・フランクリンが擁護するアリストテレス的（「具体主義的」）実在論に対して、以下の異論を提起している。
有神論にとってのブートストラッピング／創造問題: 普遍あるいは例化可能なもの（抽象的性質、具体的普遍、トロープなど）が、神がそれらを持つものを創造するために存在していなければならないのだとすれば、神は創造に先立って当該の性質を必要とすることになる（例えば「力強い」ものを創造するには、神自身があらかじめ力強くなければならない）。これは、アリストテレス主義を神による創造と組み合わせた場合に、悪循環を生み出す。 アリストテレス主義における自己創造の懸念: 性質を具体的個物の内在的側面とみなす見解のもとでは、有神論的な立場は、神が自らを構成する性質を創造しなければならないことを含意するように見え、神が自分自身を創造するという逆説的な帰結を生む。 多重実例化問題: 具体的普遍は、異なる場所に全体として現前できなければならない（多重に実例化される）。クレイグは、具体主義者は単一の具体的対象がどのようにして別々の場所に全体として存在しうるかを説明する責任があると主張し、彼が引用する論者たち（例えばアームストロング）自身も、これを十分に説明できないことを認めていると指摘する。 非実例化の普遍と数学的無限: 具体主義的な説明は、非実例化の普遍や古典数学の無限を扱うのに苦慮する。有限の物理的世界は、必要とされるすべての普遍を実現できないように思われるからである。クレイグは、フランクリンが非実例化の性質を扱うために「半プラトニズム」的な立場に傾いていることを指摘し、これが厳密な此岸的（この世界に限定された）アリストテレス主義を掘り崩していると論じる。 存在論的実在論と真理論的実在論の間の緊張: クレイグは、フランクリンが具体的普遍への存在論的コミットメントを強く論証するというよりも、むしろ数学的言明の真理性（真理論的実在論）を主に擁護していると論じる。数学的真理を当該の実体に結びつける論証がなければ、フランクリンの立場は数学的対象に関する様々な反実在論や虚構主義へと崩壊する危険がある。 フランクリンによる様相構造主義批判への批判的評価: クレイグは、フランクリンがの様相構造主義に異を唱えていると報告する一方で、クレイグ自身はそれらの異論を見当違いだと考え、もし様相構造主義が非実例化の構造を十分に説明できるのであれば、具体的普遍を措定する動機は弱まると示唆する。
クレイグは、これらの形而上学的・神学的な問題（創造／ブートストラッピング、実例化、そして非実例化・無限の数学的対象の扱い）を一括して提示し、フランクリンはこれらの困難を回避する決定的な存在論的実在論の擁護を与えていない、と結論づける。
フランクリンは、クレイグの見解は数学がどのようにして世界に適用されうるのかについて謎を生み出すのであり、この謎はアリストテレス的アプローチによって解消されると論じている。
出典
参考文献 John Bigelow, 1988, The Reality of Numbers, Clarendon, Oxford, James Franklin, 2014, An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics: Mathematics as the Science of Quantity and Structure, Palgrave Macmillan, Basingstoke, . James Franklin, 2025, The Necessities Underlying Reality: Connecting Philosophy of Mathematics, Ethics and Probability, Keith Hossack, 2020, Knowledge and the Philosophy of Number: What Numbers Are and How They Are Known, Bloomsbury, London, , 1990. Physicalism in Mathematics, Dordrecht, London, Bob Knapp, 2014, Mathematics is About the World, Lexington KY, Penelope Maddy, 1990, Realism in Mathematics, Oxford University Press, New York, Woosuk Park, 2018, Philosophy's Loss of Logic to Mathematics, Springer, Cham, Andrew Younan, 2022, Matter and Mathematics: An Essentialist Account of Laws of Nature, Catholic University of America Press, Washington DC,
外部リンク The Sydney School in the philosophy of mathematics（数学の哲学における「シドニー学派」） PhilPapers category Mathematical Aristotelianism（PhilPapersの「数学的アリストテレス主義」カテゴリ）