範囲 (統計学)

統計学における範囲（はんい、）は、記述統計量の一種。興味のあるデータ点すべてを含む最も狭い区間のことを指す。

データサンプルから計算する場合、データセットの中での最大値と最小値(すなわち、)の差より得られる。範囲は、元となるデータと同じ次元を持つ。

範囲は統計的ばらつきの目安を与える。よりな指標として、や四分位範囲などが挙げられる。

連続分布からの標本に対する範囲個の独立同分布な確率変数の従う分布の累積分布関数が、確率密度関数がであるとする。この状況下で、から得られた範囲をで表すとする。

累積確率分布範囲は、以下の累積分布関数を持つ確率分布に従う:

20世紀のユダヤ人数学者エミール・ユリウス・ガンベルは、この式について「一般的にをで表すことができないという事実と、数値積分が手間がかかり面倒であるという事実によって、この式の美しさは完全に損なわれている」と論文で指摘している。

範囲の平均値範囲を確率変数とみなしたとき、その平均値は次で与えられる:

特に、データがそれぞれ標準正規分布に従っている場合、範囲の平均値は次でも与えられる:

累積分布関数の導出以下の導出は、Gumbelの論文に依拠する。

独立同分布な確率変数の最小値が、最大値がであるという状況が発生する確率を考える。は順番の入れ替えについて対称なので、最小値を与えている変数が、最大値を与えている変数がとなるように入れ替える。このような並び替えは通りだけある。

このもとで、最小値がかつ最大値がであるような同時確率密度は

で与えられる。ただし、係数は並び替えから発生する項であり、

は残りの個の変数がを満たす確率である。最終的に求める確率は、となる確率に等しいので、と置換すれば以下が成立することがわかる:

ここで、を利用した置換積分を実行することで、所与の式が得られる:

他のモデルにおける範囲連続分布からの独立同分布サンプル以外の場合を除けば、範囲として明示的な式を得られる。ただし、それらのケースは限定的な興味しかもたらさない:

独立同分布ではない連続一様分布からの確率変数群自然数上定義された離散変数群。離散分布に対しては範囲も離散的な値を取るので、公式は組合せ数学により導くことになる。

関連する指標範囲は順序統計量の一種である。さらに、順位統計量の線形関数であるため、の一種でもある。

脚注

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