数学の関数解析学、特にバナッハ空間の幾何学（幾何学的バナッハ空間論）において、バーコフ＝ジェームズ直交（バーコフ＝ジェームズちょっこう、）とは、内積を持たない一般のノルム空間（バナッハ空間）において、ベクトルの直交性を一般化した概念である。
1935年にアメリカの数学者ギャレット・バーコフによって導入されBirkhoff, G. (1935). Orthogonality in linear metric spaces. *Duke Mathematical Journal*, 1(2), 169–172.、1947年にによって詳細に研究・発展させられたJames, R. C. (1947). Orthogonality and linear functionals in normed linear spaces. *Transactions of the American Mathematical Society*, 61(2), 265–292.。
動機 ヒルベルト空間（または内積空間）では、2つのベクトル が直交すること（）は、内積がゼロであること（）として自然に定義される。この直交性は幾何学的に「 からスカラー倍された への距離が、 のとき（すなわち 自身への距離）で最小化される」というピタゴラスの定理的な最小化問題と同値である：
しかし、一般的なバナッハ空間やノルム空間には内積が定義されていないため、通常の内積による直交性を直接用いることはできない。バーコフとジェームズは、この「距離の最小化」の性質を直交性の定義として採用することで、任意のノルム空間において適用可能な直交性の概念を構築した。
定義 （ または ）上のノルム空間 の要素 に対し、 が にバーコフ＝ジェームズ直交するとは、すべてのスカラー に対して次が成立することをいい、 （または単に ）と表記する：
幾何学的には、スカラー倍されたベクトル空間 （ が張る1次元部分空間）に対する の最良近似が原点 であることを意味する。
主要な性質 バーコフ＝ジェームズ直交性は、内積空間における通常の直交性と異なり、一般のバナッハ空間では非対称性などの特殊な挙動を示す。
斉次性（Homogeneity）: 任意の に対して、 が成り立つ。 非対称性（Asymmetry）: 一般のノルム空間では、 であっても が成り立つとは限らない。直交性が常に対称（）となるための必要十分条件は、次元が 3 以上のバナッハ空間においては がヒルベルト空間（内積空間）であることである（2次元の場合は局所的な例外が存在する）。 非加法性（Non-additivity）: かつ であっても、 が成り立つとは限らない。
ハーン＝バナッハの定理による特徴付け ハーン＝バナッハの定理を用いることで、バーコフ＝ジェームズ直交性は双対空間 上の有界線形機能（Functional）を用いて次のように等価に特徴付けられる：
であるための必要十分条件は、ある連続線形汎関数 が存在して、以下の3条件を満たすことである：
1.
2.
3.
空間の平滑性と直交性の存在・一意性 平滑性（Smoothness）: バナッハ空間 が滑らか（smooth）である（各非ゼロ点で切平面が一意に存在する）ための必要十分条件は、任意の に対し、 を満たすスカラー が一意に存在することである。 一様凸性（Uniform Convexity）: が一様凸空間であれば、直交分解の類似（射影定理）に関する良好な連続性が得られる。
応用 バーコフ＝ジェームズ直交性は、バナッハ空間の幾何学的構造の解析のみならず、以下の分野で幅広く応用されている：
作用素論: バナッハ空間上の有界線形作用素の空間 における直交性やノルム達成作用素の研究。 最良近似理論: 部分空間に対する最良近似元の存在性・一意性および数値解析的特性の解明。
脚注
関連項目 バナッハ空間 幾何学的バナッハ空間論 ヒルベルト空間 直交 ピタゴラスの定理 等脚直交 ロバーツ直交 ピタゴラス直交 一様凸空間 回帰的空間 フォンノイマン・ジョルダン定数 ジェームズ定数 ダンクル・ウィリアムズ定数 高・劉の定数
参考文献