巡回順序

数学において、巡回順序（じゅんかいじゅんじょ、）とは、集合の要素を円上に配置する方法であるこの関係は「cyclic order」、「circular order」、「cyclic ordering」、あるいは「circular ordering」と呼ばれる。著者によっては、より広い部分巡回順序の類（それらは単に「cyclic orders」と呼ばれる）と区別するため、「total cyclic order」、「complete cyclic order」、「linear cyclic order」、「l-cyclic order」または「ℓ-cyclic order」と呼ぶこともある。最後に、一部の著者は「cyclic order」で、向き付けのない4項のを指す場合がある。。順序論におけるほとんどの構造とは異なり、巡回順序は「」のような二項関係としてはモデル化されない。円周上では、どの要素も他の要素より絶対的に「先にある（大きい）」と定めることができないからである。その代わりに、巡回順序は「のあと、に達する前にに到達する」ことを意味するとして定義される。たとえば、[6月, 10月, 2月] は成立するが [6月, 2月, 10月] は成立しない（図を参照）。三項関係が巡回的・非対称的・推移的・完全であるとき、これを巡回順序という。「完全」の条件を落とすとになる。

巡回順序が入った集合を巡回順序集合または単にサイクル（cycle）という巡回順序集合は「cycle」または「circle」とも呼ばれる。上記の呼称の変異形は形容詞形にも現れる：「cyclically ordered set」（cyklicky uspořádané množiny, ）、「circularly ordered set」、「total cyclically ordered set」、「complete cyclically ordered set」、「linearly cyclically ordered set」、「l-cyclically ordered set」、「ℓ-cyclically ordered set」など。どの著者も、cycle は全順序であることに同意している。。よく知られたサイクルには離散的で要素数が有限なものがある。たとえば1週間の曜日は7つ、四方位は4つ、クロマチック・スケールの音は12個、じゃんけんの手は3種類である。有限のサイクルでは各元は「次の元」と「前の元」をもつ。要素数が無限のサイクルもあり、たとえば平面上の向き付けられた単位円がその例である。

巡回順序は、対象を線上に並べる、より馴染み深い線型順序と密接に関係している。任意の線型順序は円状に曲げられ、任意の巡回順序は1点で切ることによって線に戻せる。これらの操作、および区間と被覆写像の関連する構成により、巡回順序に関する問題はしばしば線型順序に関する問題に置き換えて考えることができる。サイクルは線型順序よりも多くの対称性をもち、有限巡回群や実射影直線のように、線型構造の剰余として自然に現れることが多い。

有限のサイクル

個の元をもつ集合上の巡回順序は、時間の時計の文字盤へのの配置に相当する。の各元は「次の元」と「前の元」をもち、後者または前者を繰り返し取るとのように要素を一巡する。

この定義には同値な表現がいくつかある。上の巡回順序は、の全体を単一のにまとめる置換、すなわち特別な型の置換であると同じである。あるいは、元をもつサイクルは -トルソー、すなわち有限巡回群が自由推移的に作用する集合とも見なせる。また別の定式化として、元と頂点をなんらかの仕方で対応付けることで、を頂点上の標準的なにすることもできる。

たとえば

のような対称関数を扱う際、巡回順序を用いるのが自然であることが多い。最後の単項式をと書くとパターンから注意がそれてしまうからである。

巡回順序の実質的な応用として、自由群の共役類の判定がある。集合上の自由群の2元 , が共役であるための必要十分条件は、と（はの元）の積として表し、それらを巡回順序に並べたときの巡回順序が、隣接するとの追加・削除を許す書き換え規則のもとで同値になることである。

集合上の巡回順序は上の線型順序から定めることができるが、一意的にではない。線型順序を選ぶことは第一の元を選ぶことと同値なので、与えられた巡回順序を誘導する線型順序はちょうど個ある。線型順序は（順列と同様に）通りあるので、巡回順序は（と同様に）通り存在する。

定義無限集合にも巡回順序を入れることができる。無限のサイクルの重要な例には、単位円と有理数がある。基本的な考え方は同じで、集合の要素を円のまわりに配置する。ただし無限の場合には点に必ずしも直接の後者が存在するとは限らないため、直接の後者関係に頼ることはできない。たとえば、単位円上のある点には「次の点」が存在しない。また、2点のうちどちらが「先」に来るかを二項関係で決めることもできない。円周上を時計回りに進むとき、東と西のどちらが先とは決められず、それぞれが他方の後に続くからである。

そこで、円周を進むにつれて（必ずしも直後ではないが）元 , , がこの順序で現れることを表す三項関係を用いる。たとえば時計回りには [東, 南, 西] のように書く。三項関係をカリー化することで、巡回順序を「カット (cut)」と呼ばれる二項順序関係の1パラメータ族、あるいはの部分集合の「区間 (interval)」と呼ばれる2パラメータ族として捉えることができる。

三項関係一般的な定義は次のとおりである：集合上の巡回順序とは、と書かれる関係であり、次の公理を満たすものをいう巡回関係にはいくつかの記号法がある。は並記を用いる。やは順序付き三つ組と集合帰属記号を用いる。はと書き、を巡回順序付き三つ組として理解する。群論の文献、たとえばやは角括弧を好む。は丸括弧を用い、角括弧は媒介関係に取っておく。は関数式の記法を用いる。Rieger (1947)（より引用）は不等号を区切りに用いてと書く。中置記法を用いる著者もあるが、これはある二項関係 < に対するとという通常の意味は持たないと理解される。は元を繰り返すことで巡回性を強調しと書く。：巡回性: ならば非対称性: ならばでない推移性: かつならば完全性: , , が相異なるならば、またはのいずれかが成立する

これらの公理は、二項関係の非対称性・推移性・完全性の公理の類推で名付けられている。二項関係のこれらの公理は合わせて狭義全順序を定めるものである。はで、他の可能な公理系のリストを検討した。その一つは巡回順序との類似性を強調するように意図されたものであった。最初の3公理は満たすが必ずしも完全性の公理は満たさない三項関係をという。

転がしとカット集合上の線型順序が与えられたとき、から誘導される上の巡回順序は次のように定義される; .： ⇔ またはまたは

2つの線型順序がトランプののような巡回的な並べ替えによって互いに変換できるとき、それらは同じ巡回順序を誘導する。上記のように狭義の線型順序から誘導される三項関係として、巡回順序関係を定義することもできる。

巡回順序から1点を切り取ると線型順序が残る。より正確には、巡回順序集合が与えられ、各元は残りの集合上に次の規則で自然な線型順序を定める; .：

⇔

さらに、はを最小元として添加することで拡張できる。得られる上の線型順序を「最小元をもつ主カット」という。同様にを最大元として添加すると、カットが得られる。

区間 2元が与えられたとき、からへの開区間はと書かれ、となるすべてのの集合である。開区間全体は巡回順序を完全に決定し、巡回順序関係の別定義として用いることができる。

区間はによって自然な線型順序をもつ。を最小元として、あるいはを最大元として添加することで、半開区間 , や閉区間を定義できる。特別な場合として、開区間はカットとして定義される。

より一般に、の真部分集合が凸であるとは、任意の2点間の区間を含むこと、すなわちについてまたはのいずれかがに含まれていることをいう。凸集合は、その集合に属さない任意のに対してカットによって線型順序が入り、この順序はの選び方によらない。

自己同型円に時計回りと反時計回りの順序があるように、巡回順序をもつ集合には2つの向き (sense) がある。順序を保つ全単射を順序対応 (ordered correspondence) という。もとの向きが保たれるならば直接対応 (direct correspondence)、そうでなければ逆対応 (opposite correspondence) という。コクセターは巡回順序を記述するためにを用いており、この関係は巡回順序の2つの向きを区別するのに十分な強さをもつ。巡回順序集合の自己同型全体は、直接対応と逆対応からなる2元群 C2 と同一視できる。

単調写像「巡回順序＝円に並べる」という考えは、サイクルの部分集合自身がサイクルであることから機能する。実際には平面上の単位円の部分集合ではない集合に巡回順序を入れるためには、集合間の関数を考える必要がある。

2つの巡回順序集合の間の関数が単調写像または準同型であるとは、上の順序を引き戻すこと、すなわちならばが成り立つことをいう。同値な条件として、が成り立ちかつがすべて相異なるときにが成り立つならば、は単調である。単調写像の典型的な例として、6元サイクル上の以下の関数がある：

関数が埋め込みであるとは、単調かつ単射であることをいうは埋め込みを「同型埋め込み」と呼ぶ。。同値な条件として、埋め込みは上の順序を押し出す関数、すなわちならばが成り立つ関数である。重要な例として、が巡回順序集合の部分集合でありに自然な順序が入っているとき、包含写像は埋め込みである。

一般に、順序のない集合からサイクルへの単射は、を埋め込みにする上の巡回順序を一意に誘導する。

有限集合上の関数有限集合上の巡回順序は、単位円への単射によって決めることができる。同じ巡回順序を誘導する関数は多数存在し——実際には無限に存在する。この冗長性を定量化するには、単なる数以上に複雑な組合せ論的対象が必要である。そのようなすべての写像のを調べると、と呼ばれる次元のポリトープの定義に行き着く。巡回多面体は当初結び目不変量の研究に応用されたが、より最近では生物時計の研究において遺伝子の実験的検出にも応用されている。

標準的な有限サイクル間の準同型のなす圏をという。これはアラン・コンヌのを構成するのに用いることができる。

サイクル間の関数の次数を、連続写像の次数と同様に定義できる。たとえば、五度圏からへの自然な写像は次数7の写像である。また回転数を定義することもできる。

完備化最小元と最大元の両方をもつカットをジャンプ (jump) という。たとえば、有限サイクルのすべてのカットはジャンプである。ジャンプをもたないサイクルを稠密 (dense) という。最小元も最大元ももたないカットをギャップ (gap) という。たとえば、有理数はすべての無理数においてギャップをもち、また通常の順序としての無限遠にもギャップをもつ。ギャップをもたないサイクルを (complete) という。端点をちょうど1つもつカットを主またはデデキントカットという。たとえば、円のすべてのカットは主カットである。すべてのカットが主カットとなるサイクル、すなわち稠密かつ完備なサイクルを連続 (continuous) という。

すべてのカットの集合は次の関係によって巡回順序が入る。であるための必要十分条件は、次を満たすが存在することである：

このカットのサイクルの特定の部分集合は、元のサイクルのデデキント完備化になる。

さらなる構成展開と被覆巡回順序集合から出発して、それを無限線に沿って展開することで線型順序を作れる。これは円を何回回ったかを追跡するという直観的な概念を捉えている。形式的には、直積集合（は整数の集合）上の線型順序を、元を固定し、任意のについて次のように定める; ：ならばたとえば、年、年、年、年はこの順で並ぶ。

このの順序をの普遍被覆というはをの「普遍被覆」と呼ぶ。は、はを「巻いた」ものだと述べる。はをの「∞回被覆」と呼ぶ。この構成は上の反辞書式順序として書かれることも多い。。その順序型はの選択によらないが、整数座標はで「巻き変わる」ため、記法はこの選択に依存する。たとえば、ピッチクラスの巡回順序はアルファベット順（A から G）と両立するが、Cが各オクターブの最初の音として選ばれるため、表記では B3 の次に C4 が来る。

逆向きの構成は線型順序集合から始めて、それを巻いて巡回順序集合を作る。線型順序集合と、非有界な軌道をもつ順序保存全単射が与えられたとき、には次の要件で巡回順序が入る写像 T はでは「アルキメデス的」と呼ばれ、では「共終」と呼ばれ、では「平行移動」と呼ばれる。：ならば

特に、上でと定めることでを復元できる。

有限に対する重被覆も存在する。この場合、巡回順序集合が別の巡回順序集合を被覆する。たとえば、24時制は12時制の2重被覆である。幾何学において、向き付けられた平面内の一点から発する光線の束は、同じ点を通る向きのない直線の束の2重被覆である; 。これらの被覆写像は、普遍被覆にリフトすることで特徴付けられる。

積と縮約

巡回順序集合と線型順序集合が与えられたとき、（全）辞書式積は積集合上の巡回順序であり、次のいずれかが成り立つときと定義される：

かつかつかつかつ

辞書式積は大域的にはのように、局所的にはのように見える。すなわち、個のの写しと考えることができる。この構成は巡回順序群の特徴付けに用いられることがある。

異なる線型順序集合を貼り合わせて巡回順序集合を作ることもできる。たとえば、2つの線型順序集合 , が与えられたとき、それらを正負の無限遠で結合することで円をなす。非交和 } 上の巡回順序をで定める。ここでに誘導される順序はもとの順序の反転である。たとえば、すべての経度の集合は、本初子午線と180度経線によりすべての西点とすべての東点を結合することで、巡回順序が入る。はこの構成を、実閉体上の2変数二重形式ローラン級数の順序空間との空間を特徴付ける際に用いている。

位相開区間全体は自然な位相、すなわち巡回の基底をなす。この位相における開集合は、両立するすべての線型順序で開になる集合にほかならない。違いを示すため、[0, 1) を例にとると、部分集合 [0, 1/2) は線型順序では 0 の近傍だが、巡回順序ではそうではない。

巡回順序空間の興味深い例には、単連結の共形境界や、ある種の3次元多様体の持ち上げられたのなどがある。巡回順序空間上の離散力学系も研究されている。

区間位相は巡回順序のもとの向き付けを忘れてしまう。この向き付けは、区間に誘導される線型順序を付加することで復元できる。すると、重なるところで両立する線型順序のアトラスによって覆われた集合が得られる。言い換えれば、巡回順序集合は局所的に線型順序が入った空間——多様体のように振る舞うが、座標近傍系ではなく順序関係をもつ対象——と見なせる。この観点は、被覆写像などの概念を精密に扱う上で有用である。局所半順序空間への一般化はで研究されている。も参照。

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