数学の哲学において、 ベナセラフの同定問題（ベナセラフのこていもんだい、Benacerraf's identification problem）はポール・ベナセラフによって発展させられた、集合論的プラトニズムに反対する哲学的論証 であり、1965年に"What Numbers Could Not Be"と題された論文において出版されたBenacerraf, Paul (1965). “What Numbers Could Not Be”. The Philosophical Review. 74 (1): 47–73.。歴史的に、この著作は数学における構造主義の発展を動機づけることにおいて重要な触媒となったStewart Shapiro (1997) Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology New York: Oxford University Press, p. 37. 。
同定問題は、自然数の純粋集合への還元には根本的な問題が存在するということを主張する。 自然数を純粋集合として同定する方法は無限数存在するがゆえに、どんな特定の集合論的方法も「真なる」還元であると決定できない。ベナセラフは、そのような還元を選択するいかなる試みも、メタレベルの集合論的虚偽を、選ばれたものと同一ではない他の初等同値の集合論との関係において直ちに生み出すことになると推論する。同定問題は、これが数学的対象が実在的で抽象的な存在を持つと主張するプラトニズムにとって根本的な問題を作り出すと主張する。プラトニックな集合論に対するベナセラフのジレンマ は、純粋集合への自然数の「真なる」還元をそれらの抽象的数学的対象の内在的性質を明らかにすることとして同定しようとするプラトニズムの試みが不可能であることを主張する。結果として、同定問題は、集合論の自然数に対する関係が存在論的にプラトニックな性質を持ちえないことを究極的に論証した。
歴史的動機付け ベナセラフの同定問題の発展に対する歴史的動機付けは、存在論における基礎的問題に由来する。 中世の時代から、 哲学者は数学の存在論が抽象的対象を含むのかについて議論してきた。数学の哲学において抽象的対象は次を満たす存在者として伝統的に定義されている。（1）心から独立に存在する、（2）経験的世界から独立に存在する、（3）永遠で不可変な性質を有するMichael Loux (2006) Metaphysics: A Contemporary Introduction (Routledge Contemporary Introductions to Philosophy), London: Routledge. 。 伝統的な数学的プラトニズムは、自然数、実数、関数、関係、体系などの数学的対象の少なくとも一部は、そのような抽象的対象であると主張する。対照的に、数学的唯名論は数学の存在論におけるいかなるそのような抽象的対象の存在も否定する。
19世紀後期から20世紀初頭まで、多くの反プラトニズム的プログラムが人気を得た。直観主義、形式主義、そして述語主義はこれらに含まれる。しかし、20世紀中頃までに、これらの反プラトニズム的理論は固有の問題に数多く直面した。 このことは続けて、プラトニズムへの関心の復興を招いた。 同定問題への動機付けが発展したのは、このような歴史的文脈においてである。
説明 同定問題は、自然数の初等同値な集合論的モデルのいくつかを提示することによって始まる。ベナセラフは二つの集合論的方法を考える。
集合論的方法 I （ツェルメロ順序数を用いて）
集合論的方法 II （フォン・ノイマン順序数を用いて）
ベナセラフが示すように、方法I とⅡは自然数を集合に還元する。 ベナセラフはジレンマを次のような一つの問題として定式化する。これらの集合論的方法のうちいずれが、真の同一性命題を一意的に提供し、自然数の真の存在論的性質を解明するのか？。 方法IとIIのいずれも、自然数を定義するために用いられることができ、したがって数学的体系を形作るための真の算術的言明を生成することができる。いずれの方法から得られる体系も、自然数の構造としては互いに同型である。 しかし、これらの同型的構造がメタレベルにおいて関係づけられるとき問題が生じる。 体系Iからの定義と算術的言明は、体系IIからの定義と算術的言明と同一ではない。たとえば、 0 ∈ 2であるかどうかについての答えに関して、∅はの要素ではないがゆえに二つの体系は異なっている。したがって、同一性の推移性 が失敗するため、真なる同一性言明を探す試みも同様に失敗する。自然数を集合に還元しようと試みることによって、このことは、異なる数学的体系の同型的構造の間に集合論的虚偽を生み出す。 このことが同定問題の本質である。
ベナセラフはこのことを、Penelope MaddyがRealism in Mathematicsのなかで記述したストーリーとともに述べている。
エルニーとジョニーはどちらも集合論に親しんで育った。算術を学ぶ段になったとき、エルニーは、嬉しいことに彼はもう数について知っているのだと教えられた。数は、0 （'ゼロ'と呼ばれる）、{0} （'いち'と呼ばれる）、{0, {0}} （'に'と呼ばれる）、以下同様、である。彼の先生がこれらの集合に対する加法と乗法の演算を定義し、そしてすべてのラベリングが終わったとき、エルニーは数え上げ、彼のクラスメートと同じように算術をする。ジョニーの場合もまったく同様に進むが、ただし一点だけエルニーとは異なる。ジョニーはツェルメロ順序数が数であると教えられている。彼も数え上げ、算術をするが、その答えはエルニーやクラスメートと一致している。 子供たちは一緒に足し算をし、素数について学び、完全数を探すことなどなどを楽しんだ。しかし、エルニーとジョニーは好奇心旺盛な小さな子供だった。彼らはこれらの不思議なもの、つまり数について知りうることは何でも知りたいと思った。その過程で、エルニーは1が3の元であるという驚くべき事実を発見した。実際、彼が一般化するように、もしnがmより大きいなら、mはnの元である。熱狂した彼は、彼のお気に入りの遊び友達にこの事実を伝えた。しかしここで、悲しいことに、芽生えかけていた数学的協働は終わりを迎える。ジョニーはエルニーの熱狂を分かち合うことができなかったばかりでなく、ジョニーはこの自慢の定理が直ちに偽であると宣言したのである！彼は3が三つの元を持つことすら認めようとしなかった！」
ベナセラフによれば、同定問題の哲学的な帰結として、プラトニズムのアプローチは存在論的テストに失敗する。この論証は、プラトニズムが数を集合に還元し、抽象的対象の存在を明らかにすることが不可能であることを示すために用いられた。
関連項目 ベナセラフの認識論的問題
脚注
参考文献 Benacerraf, Paul (1973) "Mathematical Truth", in Benacerraf & Putnam Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Cambridge: Cambridge University Press, 2nd edition. 1983, pp. 403–420. Hale, Bob (1987) Abstract Objects. Oxford: Basil Blackwell.