二乗平均・算術平均・幾何平均・調和平均の大小関係

二乗平均・算術平均・幾何平均・調和平均の大小関係（）は、その名の通り二乗平均（にじょうへいきん、）、算術平均（さんじゅつへいきん、）、幾何平均（きかへいきん、）、調和平均（ちょうわへいきん、）の間に成立する大小関係である。具体的には、を正の実数として、それぞれの平均は

と定義されるが、これらの間に

という不等式が成立する。すなわち、これらの平均を小さい順に並べると、必ず調和平均、幾何平均、算術平均、二乗平均という順になる。等号成立条件はこれらの不等式全てについてであり、その場合全ての平均値がに一致する。

この関係式は、で定義されるヘルダー平均が、一般にならばを満たすという性質の具体例でもある。

証明二乗平均・算術平均・幾何平均・調和平均の大小関係には、3つの証明すべき不等式が含まれている。これらの不等式を証明する方法は数学的帰納法、コーシー=シュワルツの不等式、ラグランジュの未定乗数法、イェンセンの不等式など多岐にわたる。ここでは、簡易的な証明の例を示す。

2つの次元ベクトルと (n個の1からなるベクトル)に対してコーシー＝シュワルツの不等式を適用すれば、

が得られる。この式の両辺をで割ることで

が得られる。を正の実数としているので、両辺の平方根を取ることでが示される。等号成立条件はコーシー＝シュワルツの不等式のそれを受け継ぎ、である。

算術平均と幾何平均の大小関係イェンセンの不等式によれば、実数上の凸関数、を満たす正の実数および実数に対して

が成立する。今、凸関数としてを、正の実数列としてをそれぞれ与えれば、

が得られる。あとは、両辺を指数関数の引数とすればが示される。

等号成立条件はイェンセンの不等式のそれを受け継ぎ、である。

幾何平均と調和平均の大小関係の不等式(相加相乗平均の不等式)の逆数を取ると、

が得られる。今、は正の実数としているので、という変換を施しても不等式は成立する。ゆえに、

が成立する。これは示すべき式に他ならない。

等号成立条件は、相加相乗平均の不等式のそれを受け継ぎである。

2変量の平均の場合

の時、この不等式の主張は、任意のに対して

となる。

この場合、幾何学的な証明を与えることができる。直径がであるような半円を考え、その直径の端点をそれぞれとする。線分上の点を、それぞれの長さがとなるようにとり、さらにの中点をとおく。からそれぞれに垂直な線を引き、それらと半円の円周との交点をそれぞれとする。さらに、線分上の点を、とが垂直となるようにとる。この時、

およびはこの半円の半径に等しく、それはである。は、かつ、のもと直角三角形に関するピタゴラスの定理によりと得られる。特にであるから、である。円周角の定理、特にタレスの定理より、三角形は直角三角形である。すると、この三角形について幾何平均定理が利用でき、と判明する。一方、の構成方法から、一般にが成立する。よって、である。三角形と三角形はともに角Fを共有する直角三角形であるので相似であり、したがってが得られる。一方、三角形に関するピタゴラスの定理よりであるから、である。

二乗平均・算術平均・幾何平均・調和平均の大小関係

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