標準模型の数学的定式化

素粒子物理学の標準模型は、ユニタリ群の直積群の内部対称性を含むゲージ場の量子論である。この理論は通常、基本的な粒子の集合、すなわちレプトン、クォーク、ゲージ粒子、ヒッグス粒子を記述するものとみなされている。

標準模型は繰り込み可能であり、数学的に自己無撞着である。実際には、場の量子論には現在も議論されている数学的問題がある。例えばを参照。ただし、現在の方法によって標準模型から得られる予言は、すべて互いに整合している。さらに詳しくは、例えば R. Mann, chapter 25 を参照。しかし、実験的予測において非常に大きく継続的な成功を収めている一方、なお説明されていない現象が残されている。特に、特殊相対性理論の物理は組み込まれているが、一般相対性理論は組み込まれておらず、重力子が現れると予想されるエネルギーまたは距離の領域では標準模型は成り立たなくなる。したがって、現代的な場の理論の文脈では、標準模型は有効場の理論とみなされている。

場の量子論

300px|right|thumb|既知のすべての素粒子について、弱アイソスピン、弱超電荷、色荷のパターンを、電荷がほぼ鉛直方向になるようだけ回転して示したもの。中性のヒッグス場（灰色の四角）は電弱対称性を破り、他の粒子と相互作用してそれらに質量を与える。

標準模型は場の量子論であり、その基本的な対象は時空のすべての点で定義される量子場である。場の量子論では、粒子を、その粒子よりも基本的な量子場の励起状態、すなわち量子として扱う。これらの場は次のとおりである。「物質粒子」を表すフェルミ粒子場電弱ボソン場、、、グルーオン場ヒッグス場これらが古典場ではなく量子場であることの数学的帰結として、場の値は演算子値となる。特に、場の値は一般には可換ではない。演算子として、それらは量子状態、すなわちケットベクトルに作用する。

場の別表現量子論では一般的なことだが、同じ対象を見る方法は一つではない。上で挙げた基本場は、最初は上の図にある「基本粒子」とうまく対応していないように見えるかもしれない。しかし、特定の文脈では上の表し方より適切な、いくつかの別表現が存在する。

フェルミ粒子フェルミ粒子場を一つのとして扱う代わりに、粒子の種類ごとに別々の成分へ分解できる。これは場の量子論の歴史的発展も反映している。電子成分は電子とその反粒子である陽電子を記述し、量子電磁力学における最初の場に対応する。その後、それぞれミュー粒子とタウ粒子およびその反粒子を表すとが加わった。電弱理論では、対応するニュートリノについて、が追加された。クォークによってさらに多くの成分が加わる。電子や他のレプトン成分と同様に4成分スピノルとするには、フレーバーと色の各組み合わせごとにクォーク成分が一つ必要であり、合計は24個となる。内訳は荷電レプトン3、ニュートリノ3、クォークが 2·3·3 = 18 である。それぞれは4成分のディラック・スピノルなので、フェルミ粒子場全体では96個の複素数値成分をもつ。

重要な定義として、バー付きフェルミ粒子場がある。これはと定義される。ここではのエルミート共役を表し、は第0ガンマ行列である。を行列と考えるなら、は行列と考えるべきである。

カイラル理論は、これとは独立にカイラリティ成分へ分解できる。

ここでは第5ガンマ行列である。これは標準模型で非常に重要である。というのも、左カイラリティ成分と右カイラリティ成分は、ゲージ相互作用によって異なる扱いを受けるからである。

特に、弱アイソスピンのSU(2)変換のもとでは、左手型粒子は弱アイソスピン二重項であるのに対し、右手型粒子は一重項である。すなわち、の弱アイソスピンは0である。より簡単に言えば、弱い相互作用は、例えば左手型電子を左手型ニュートリノへ、の放出を伴って回転させることができるが、同じことを右手型粒子に対しては行えない。なお、右手型ニュートリノは元来の標準模型には存在しなかった。しかしニュートリノ振動の発見はニュートリノが質量をもたなければならないことを意味し、質量をもつ粒子の伝播中にはカイラリティが変化しうるため、現実には右手型ニュートリノが存在しなければならない。ただし、このことは実験的に示されている弱い相互作用のカイラルな性質を変えるものではない。

さらに、はとに異なる形で作用する。これは両者が異なる弱超電荷をもつためである。

質量固有状態と相互作用固有状態したがって、例えばニュートリノについては、質量固有状態と相互作用固有状態を区別できる。前者は自由空間を伝播する状態であり、後者は相互作用に参加する別の状態である。では、どちらが「基本的」粒子なのだろうか。ニュートリノでは、通常「フレーバー」、すなわち電子ニュートリノ、ミューニュートリノ、タウニュートリノを相互作用固有状態によって定義する。一方、クォークではフレーバー、すなわちアップ、ダウンなどを質量状態によって定義する。これらの状態の間は、クォークではCKM行列、ニュートリノではPMNS行列を用いて変換できる。これに対し、荷電レプトンは質量とフレーバーの両方の固有状態である。

なお、これらいずれかの行列に複素位相項が存在すれば、直接的なCP対称性の破れを引き起こし、現在の宇宙で反物質より物質が優勢であることを説明できる可能性がある。CKM行列についてはこれが実証されており、PMNS行列についても期待されている。

正エネルギーと負エネルギー最後に、量子場は「正」と「負」のエネルギー部分へ分解されることがある。。場の量子論がすでに構成された後ではこの分解はそれほど一般的ではないが、場の理論を量子化する過程ではしばしば重要な役割を果たす。

ボソン 300px|thumb| と結合定数 g、g′、e の関係。T. D. Lee の著書 Particle Physics and Introduction to Field Theory (1981) に基づく。ヒッグス機構により、電弱ボソン場、、、は「混合」し、物理的に観測可能な状態を作る。ゲージ不変性を保つため、基礎となる場は質量ゼロでなければならないが、観測可能な状態はその過程で質量を獲得できる。これらの状態は次のとおりである。

質量をもつ中性Zボソン:

質量ゼロの中性ボソン:

質量をもつ荷電Wボソン:

ここではである。

場は光子であり、古典的にはよく知られた電磁4元ポテンシャル、すなわち電場と磁場に対応する。場も実際には光子が寄与するすべての過程に寄与するが、質量が大きいため、その寄与は通常無視できる。

摂動的場の量子論と相互作用描像標準模型を「粒子」と「力」によって定性的に説明する際、その多くは模型を摂動的場の量子論として見る立場に由来する。この立場では、ラグランジアンをとして、自由場のラグランジアンと相互作用ラグランジアンに分解する。自由場は孤立した粒子を記述し、複数の粒子を含む過程は相互作用から生じる。ここでの考え方は、状態ベクトルは粒子が相互作用するときだけ変化すべきであり、自由粒子とは量子状態が一定である粒子だというものである。これは量子力学の相互作用描像に対応する。

より一般的なシュレーディンガー描像では、自由粒子であっても状態は時間とともに変化する。典型的には、位相がエネルギーに依存する速さで変化する。別のハイゼンベルク描像では状態ベクトルを一定に保つ代わりに、演算子、特にオブザーバブルが時間依存となる。相互作用描像はこの二つの中間に位置し、時間依存性の一部を演算子、すなわち量子場に、残りを状態ベクトルに担わせる。場の量子論では、前者を模型の自由場部分、後者を相互作用部分と呼ぶ。自由場模型は厳密に解くことができ、その後、完全な模型の解を自由場解からの摂動として、例えばダイソン級数を用いて表現できる。

自由場と相互作用への分解は、原理的には任意であることに注意すべきである。例えば量子電磁力学における繰り込みでは、自由場電子の質量を、電磁場を伴う物理的電子の質量に一致するよう修正する。その際、自由場ラグランジアンに項が加えられ、それを打ち消す反項を相互作用ラグランジアンに入れなければならない。この反項はファインマン・ダイアグラムでは2本線の頂点として現れる。ヒッグス場が粒子に質量を与えると考えられる仕組みも同様である。ヒッグス場のゼロでない真空期待値に対応する相互作用項の一部を、相互作用ラグランジアンから自由場ラグランジアンへ移すと、そこではヒッグス場とは無関係な通常の質量項のように見える。

自由場低エネルギーに適した通常の自由場と相互作用の分解では、自由場は次の方程式に従う。フェルミ粒子場はディラック方程式を満たす。各フェルミ粒子の種類について。光子場は波動方程式を満たす。ヒッグス場はクライン＝ゴルドン方程式を満たす。弱い相互作用の場はプロカ方程式を満たす。これらの方程式は厳密に解くことができる。通常はまず各空間軸に沿って周期をもつ周期解を考え、その後の極限を取ることで周期性の制約を取り除く。

周期的な場合、上のいずれかの場の解は、次の形のフーリエ級数として表せる。

ここで: は規格化因子である。フェルミ粒子場ではであり、ここでは考えている基本セルの体積である。光子場ではである。に関する和は、周期と両立するすべての運動量について取る。すなわち、を整数として、すべてのベクトルについて取る。に関する和は、偏極やスピンなど、その場に固有の他の自由度を表す。通常はから、またはからまでの和となる。は運動量をもつ場の量子の相対論的エネルギーであり、静止質量がのときである。とは、それぞれ運動量をもつ「a粒子」と「b粒子」の消滅演算子と生成演算子である。「b粒子」は「a粒子」の反粒子である。異なる場は異なる「a粒子」と「b粒子」をもつ。一部の場ではとは同一である。とは、該当する場合に場のベクトルまたはスピノルとしての性質を担う、演算子ではない量である。は、運動量をもつ量子の4元運動量である。は4元ベクトルの内積を表す。の極限では、に含まれるの働きによって、この和は積分へ移行する。の数値はとに採用する規格化にも依存する。

厳密には、は、ケットベクトルの内積空間における演算子のエルミート共役である。とをそれぞれ生成演算子と消滅演算子と同定することは、それらが作用する前後の状態の保存量を比較することから導かれる。例えばは一つの粒子を加えると考えられる。これはa粒子の数演算子の固有値をだけ増加させ、さらにベクトル値の運動量演算子の固有値をだけ増加させるため、加えられた粒子の運動量がでなければならないからである。これらの導出では、量子場によって演算子を表した式から出発する。をもつ演算子を生成演算子、もたない演算子を消滅演算子とするのは、仮定された交換関係の符号によって課される慣習である。

摂動的場の量子論で計算する準備として重要なのは、上の「演算子」因子とを、それぞれに対応するベクトルまたはスピノル因子とから分離することである。ファインマン・ダイアグラムの頂点は、相互作用ラグランジアン内の異なる因子に含まれるとがどのように組み合わさるかから生じる。一方、辺は、ダイソン級数の項を正規形にするためにとをどのように移動させなければならないかから生じる。

相互作用項と経路積分による方法ラグランジアンは、生成消滅演算子を用いる「正準」形式を使わず、ディラックの先行研究をもとにファインマンが発展させた経路積分形式を用いて導くこともできる。ファインマン・ダイアグラムは相互作用項を図式的に表したものである。実際、ファインマン・ダイアグラムの記事には簡潔な導出が示されている。

ラグランジアン形式 upright=1.5|thumb|right|標準模型における相互作用。標準模型のすべてのファインマン・ダイアグラムは、これらの頂点の組み合わせから構成される。q は任意のクォーク、g はグルーオン、X は任意の荷電粒子、γ は光子、f は任意のフェルミ粒子、m はニュートリノを例外とする可能性を除けば任意の質量をもつ粒子、mB は任意の質量をもつボソンである。複数の粒子ラベルが / で区切られた図では一つの粒子ラベルを選ぶ。粒子ラベルが | で区切られた図では、ラベルを同じ順序で選ばなければならない。例えば4ボソン電弱相互作用では、許される図は WWWW、WWZZ、WWγγ、WWZγ である。列挙された各頂点の共役、すなわち矢印の向きを反転したものも許される。|class=skin-invert-image

ここで、先に述べた標準模型のラグランジアン密度に現れる自由項と相互作用項について、もう少し詳しく述べる。このような各項は、ゲージ不変かつ基準系不変でなければならない。そうでなければ、物理法則が任意の選択や観測者の基準系に依存してしまう。したがって、並進対称性、回転対称性、および特殊相対性理論の中心的要請である慣性基準系に対する不変性から成る大域的ポアンカレ対称性が成り立たなければならない。局所的ゲージ対称性は内部対称性である。後に見るように、適切な関係を定義すると、このゲージ対称性の三つの因子が三つの基本相互作用を生じさせる。

運動項自由粒子は、質量項と、場の「運動」に関係するによって表すことができる。

フェルミ粒子場ディラック・フェルミ粒子の運動項は

である。記号はこの記事の前の節と同じである。は標準模型の任意のディラック・フェルミ粒子一種、またはそのすべてを表すことができる。一般には、以下で見るように、この項は結合項の中に含められ、全体として「力学的」項を形成する。

ゲージ場スピン1の場について、まず場の強さテンソルを

と定義する。これは与えられたゲージ場、ここでは、およびゲージ結合定数に対する式である。量は特定のゲージ群の構造定数であり、交換子

によって定義される。ここではその群の生成元である。ここで用いるのようなアーベル群、すなわち可換群では、生成元がすべて互いに可換であるため構造定数はゼロになる。もちろん一般にはそうではなく、標準模型には非可換な群と群が含まれる。このような群はヤン＝ミルズ・ゲージ理論をもたらす。

の各部分群に対応して、三つのゲージ場を導入する必要がある。グルーオン場テンソルをと表す。添字は色のSU(3)の次元表現の要素を表す。強い結合定数は慣習的に、曖昧さがなければ単にと書く。標準模型のこの部分の発見につながった観測については量子色力学の記事で論じられている。のゲージ場テンソルにはという記号を用いる。はこの群の個の生成元にわたる。結合は、または単にと表せる。ゲージ場はと表す。弱超電荷のに対するゲージ場テンソルは、結合定数は、ゲージ場はと表す。

すると運動項は

と書ける。ここでトレースは、それぞれとに隠れているとの添字について取る。二つの添字をもつ量は、ベクトル場とから得られる場の強さである。また、さらに隠れた二つのパラメータとして、とのシータ角がある。

結合項次の段階では、相互作用を可能にするためゲージ場をフェルミ粒子に「結合」する。

電弱部門

電弱部門は対称性群に従って相互作用する。添字 L は左手型フェルミ粒子だけに結合することを示す。

ここではゲージ場、は弱超電荷、すなわち群の生成元、は3成分のゲージ場である。またの成分はパウリ行列、すなわち群の無限小生成元であり、その固有値が弱アイソスピンを与える。弱い力との統一を実現するには、QEDとは異なる弱超電荷の新しい対称性を定義し直す必要がある。電荷、弱アイソスピンの第3成分、これはまたはとも書く、と弱超電荷の関係は

である。別の規約ではとする。この記事で用いる最初の規約は、以前からあるゲルマン・西島の式と同値であり、超電荷を与えられたアイソ多重項の平均電荷の2倍とする。

すると弱アイソスピンのを

弱超電荷の保存カレントを

と定義できる。ここでは電流、は第3弱アイソスピンカレントである。上で説明したように、これらのカレントは混合して物理的に観測されるボソンを作り、その結果として結合定数間に実験可能な関係も生じる。

これをより簡単に説明するため、ラグランジアンから項を抜き出して電弱相互作用の効果を見ることができる。SU(2)対称性はに含まれる各左手型フェルミ粒子二重項に作用する。例えば

である。ここでは粒子は左手型であると理解し、

とする。

これは「弱アイソスピン空間での回転」に対応する相互作用、言い換えればボソンの放出を通じたとの間の変換である。一方対称性は電磁相互作用に似ているが、中性のを通じて左右両方のすべての「弱超電荷をもつ」フェルミ粒子に作用し、さらに光子を通じて荷電フェルミ粒子にも作用する。

量子色力学部門

量子色力学、QCD、の部門は、によって生成される対称性のもとでクォークとグルーオンの相互作用を定義する。レプトンはグルーオンと相互作用しないため、この部門の影響を受けない。グルーオン場に結合したクォークのディラック・ラグランジアンは

で与えられる。ここでとは、それぞれアップ型クォークとダウン型クォークに対応するディラック・スピノルであり、その他の記号は前節と同じである。

質量項とヒッグス機構

質量項ディラック・ラグランジアンから生じる任意のフェルミ粒子の質量項はであり、これは電弱対称性のもとで不変ではない。を左手型成分と右手型成分で書けば、実際の計算を省略して

となる。つまりとの項からの寄与は現れない。したがって、質量を生み出す相互作用は粒子のカイラリティが絶えず反転することによって実現される。スピン1/2粒子には、同じ表現をもち、かつ大きさが等しく符号が反対の弱超電荷をもつ右カイラリティと左カイラリティの組が存在しない。そのため、これらのゲージ電荷が真空中で保存すると仮定すると、どのスピン1/2粒子もカイラリティを変えることができず、質量ゼロのままでなければならない。さらに、実験的にWボソンとZボソンが質量をもつことは分かっているが、ボソンの質量項には例えばの組み合わせが含まれ、これは明らかにゲージの選び方に依存する。したがって、標準模型のフェルミ粒子もボソンも最初から質量をもつことはできず、別の機構によって質量を獲得しなければならない。

ヒッグス機構

これら二つの問題はヒッグス機構によって解決される。これはスカラー場を含む機構であり、スカラー場の数はヒッグス機構の具体的な形による。ごく簡単に言えば、これらの場は自由度として質量をもつボソンに「吸収」され、また湯川結合を通じてフェルミ粒子に結合することで、質量項のように見える項を作る。

標準模型では、ヒッグス場は群の複素スカラー場である。

ここで上付きのとは各成分の電荷を表す。両成分の弱超電荷はである。

ラグランジアンのヒッグス部分は

である。ここでおよびなので、自発的対称性の破れの機構を利用できる。ここには、最初はポテンシャルの形の中に隠れている非常に重要なパラメータがある。ではとし、を実数にできる。このときはヒッグス場のゼロでない真空期待値である。は質量の次元をもち、標準模型で無次元ではない唯一のパラメータである。また、プランクスケールよりはるかに小さく、ヒッグス質量のおよそ2倍であり、標準模型の他のすべての粒子の質量尺度を定める。これは標準模型において、小さいがゼロではない値への本質的な微調整が必要となる唯一の箇所である。との二次項が生じ、WボソンとZボソンに質量を与える。

ヒッグス粒子自身の質量はで与えられる。

湯川相互作用

湯川相互作用の項は

である。ここで、、は湯川結合の行列であり、成分は世代との結合を与える。また h.c. は先行する項のエルミート共役を意味する。場とは、それぞれ左手型クォーク二重項と左手型レプトン二重項である。同様に、、は、それぞれ右手型アップ型クォーク、右手型ダウン型クォーク、右手型レプトン一重項である。最後にはヒッグス二重項で、である。

ニュートリノ質量

前述のように、実験的証拠はニュートリノが質量をもつことを示している。しかし標準模型には右手型ニュートリノが存在しないため、湯川結合を含めてもニュートリノは質量ゼロのままである。明白な解決法の一つは、単純に右手型ニュートリノを追加することである。その場合、湯川部門に新たなディラック質量項を加える必要がある。

しかしこの場はステライルニュートリノでなければならない。右手型であるため、実験的にはアイソスピン一重項に属し、さらに電荷なので、となる。したがって上記のように、弱い相互作用にすら参加しない。ステライルニュートリノの実験的証拠は現在のところ決定的ではない。

もう一つの可能性は、ニュートリノがマヨラナ方程式を満たすと考えることである。ニュートリノの電荷がゼロであるため、これは一見可能に思える。この場合、湯川部門に新しいマヨラナ質量項を加える。

ここでは電荷共役された粒子、すなわち反粒子を表し、の項はすべて一貫して左カイラリティ、またはすべて右カイラリティである。反粒子の左カイラリティ射影は右手型場になるため、記法の違いには注意が必要である。ここでは本質的に、左手型ニュートリノと右手型反ニュートリノの間を反転している。さらに、ニュートリノが自身の反粒子であり、これら二つが同一粒子であることも可能だが、必須ではない。しかし左カイラリティ・ニュートリノでは、この項によって弱超電荷が2単位変化する。これは通常のヒッグス相互作用では不可能なので、弱超電荷 2 の追加三重項を含むようヒッグス場を拡張する必要がある。一方、右カイラリティ・ニュートリノではヒッグス場の拡張は不要である。左右いずれの場合も、マヨラナ項はレプトン数を破るが、その破れは現在の実験感度では検出できないほど小さい可能性がある。

同じ理論にディラック質量項とマヨラナ質量項の両方を含めることもできる。これはディラック質量だけを用いる方法とは異なり、右手型ニュートリノをGUTスケール付近の未知の物理と結び付けることによって、観測されるニュートリノ質量が小さいことに「自然な」説明を与えうる。シーソー機構も参照。

いずれにせよ実験結果を説明するには新しい場を仮定しなければならないため、ニュートリノは標準模型を超える物理を探索するための明白な入り口となっている。

詳細この節では、いくつかの側面についてさらに詳しく説明し、参考資料も示す。ラグランジアンの具体的な項についてはこちらにも示されている。

場の内容の詳細標準模型には以下の場が存在する。これらはレプトンとクォークの一つの世代を表しており、世代は三つあるため、それぞれのフェルミ粒子場が三組ずつ存在する。CPT対称性により、パリティと電荷が反対のフェルミ粒子と反フェルミ粒子の組が存在する。左手型フェルミ粒子がある表現に属するなら、その反粒子、すなわち右手型反フェルミ粒子は双対表現に属する。なお SU(2) ではである。これは基本表現がだからである。表の「表現」欄は、各場がゲージ群のどの表現のもとで変換するかを、(SU(3), SU(2), U(1)) の順に示す。U(1) については弱超電荷の値を記す。各世代では、左手型レプトン場の成分数は右手型レプトン場の成分数の2倍だが、左手型クォーク場と右手型クォーク場の成分数は等しい。

標準模型の場の内容スピン 1、ゲージ場記号対応する電荷群結合表現弱超電荷または弱アイソスピンまたは色またはスピン、フェルミ粒子記号名称バリオン数レプトン数表現左手型クォーク右手型クォーク（アップ型）右手型クォーク（ダウン型）左手型レプトン右手型レプトンスピン 0、スカラーボソン記号名称表現ヒッグス粒子

フェルミ粒子の内容この表は、一部パーティクル・データ・グループが収集したデータに基づく。

標準模型の左手型フェルミ粒子第1世代フェルミ粒子（左手型）記号電荷弱アイソスピン弱超電荷色荷これらは加算できる通常のアーベル的な電荷ではなく、リー群の群表現を表すラベルである。質量質量は実際には左手型フェルミ粒子と右手型フェルミ粒子の間の結合である。例えば電子の質量とは、実際には左手型電子と、左手型陽電子の反粒子に当たる右手型電子との間の結合である。またニュートリノは質量結合に大きな混合を示すため、フレーバー基底でニュートリノ質量を語ったり、左手型電子反ニュートリノを想定したりするのは厳密ではない。電子 511 keV 陽電子 511 keV 電子ニュートリノ < 0.28 eV標準模型はニュートリノを質量ゼロと仮定する。しかし現代の多数の実験は、ニュートリノがフレーバー状態の間で振動することを示しており、これはすべてが質量ゼロなら起こりえない。これらのデータに合うよう模型を拡張すること自体は容易だが、可能性が多数あるため、質量固有状態については依然として未解決問題が残る。ニュートリノ質量を参照。反電子ニュートリノ < 0.28 eV アップクォーク ~ 3 MeVバリオンやハドロンの質量および各種断面積が実験的に測定される量である。クォークはQCDの色の閉じ込めによって単離できないため、ここでの量はQCDスケールの繰り込みスケールにおけるクォーク質量を表すものとされる。反アップクォーク ~ 3 MeV ダウンクォーク ~ 6 MeV 反ダウンクォーク ~ 6 MeV 第2世代フェルミ粒子（左手型）記号電荷弱アイソスピン弱超電荷色荷質量ミュー粒子 106 MeV 反ミュー粒子 106 MeV ミューニュートリノ < 0.28 eV 反ミューニュートリノ < 0.28 eV チャームクォーク ~ 1.3 GeV 反チャームクォーク ~ 1.3 GeV ストレンジクォーク ~ 100 MeV 反ストレンジクォーク ~ 100 MeV 第3世代フェルミ粒子（左手型）記号電荷弱アイソスピン弱超電荷色荷質量タウ粒子 1.78 GeV 反タウ粒子 1.78 GeV タウニュートリノ < 0.28 eV 反タウニュートリノ < 0.28 eV トップクォーク 171 GeV 反トップクォーク 171 GeV ボトムクォーク ~ 4.2 GeV 反ボトムクォーク ~ 4.2 GeV

自由パラメータ質量ゼロのニュートリノをもつ最も一般的なラグランジアンを書くと、その力学は19個のパラメータに依存し、その数値は実験によって決定される。ニュートリノに質量をもたせる単純な標準模型の拡張では、さらに7個、すなわち3個の質量と4個のPMNS行列パラメータが必要となり、合計26個になる。ニュートリノのパラメータ値には依然として不確かさがある。確立している19個のパラメータを以下に示す。

標準模型の数学的定式化

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