数学における測度の収束（そくどのしゅうそく、Convergence of measures）とは、ある可測空間 上の測度の列 が、 を増す毎に同じ測度 と "同じような期待値を与える" ことをいう。この収束の様態は様々である。
全変動収束 全変動収束は全変動距離から誘導される。
可測空間 上の測度 の全変動距離(total variation distance)は可測関数 の積分の差によって以下のように与えられる。
この定義をワッサースタイン計量やラドン計量と比較すると、上限を考える の範囲に違いがある。 がポーランド空間であれば、全変動距離はラドン計量に一致する。
が確率測度であれば、全変動距離は以下のようになる。
これは Monge–Kantorovich duality の特殊な場合である。また、これにより確率測度に対する全変動距離は0から2をとることが明らかである。
全変動距離の直観的な意味は次のように考えられる。ある確率変数の分布はのどちらかである。ここで である確率、である確率がそれぞれであるとき、の実現値が与えられたとして、改めて である確率、である確率を考える。その精度は精々である。が "似た" 分布なら精度は小さくなる。
全変動収束は次に述べる setwise convergence や弱収束よりも強い概念である。
Setwise convergence Setwise convergence of measures とは、可測空間 上の測度の列 が、ある測度 に対して、任意の可測集合 の測度 が に収束することをいう。 や などと書かれる。
例えば、リーマン・ルベーグの補題によれば、閉区間 上の測度 はルベーグ測度に setwise convergence するが、全変動収束はしない。
測度論や確率論において setwise convergence は強収束と呼ばれる。ただし、関数解析において強収束はあるノルムについての収束を指すため、語の使用に当たって注意が必要である。
弱収束 弱収束については同値な定義がいくつか存在する。（この同値性は Portmanteau theorem を参照）
を、ボレル完全加法族 を備える距離空間とする。有界な確率測度列 と確率測度 が以下の同値な条件を満たすとき、 は に弱収束するといい、 や 、、などと書く。（以下に はそれぞれ についての期待値を表す。）
任意の有界な連続関数 について 任意の有界なリプシッツ関数 について 任意の上に有界な upper semi-continuous 関数 について 任意の下に有界な lower semi-continuous 関数 について 任意の閉集合 について 任意の開集合 について 任意の連続集合 について
が実数空間と同相ならば、 が に弱収束することは、その累積分布関数 が「 が連続な全ての点 において、」を満たすことと同値である。
For example, the sequence where is the Dirac measure located at converges weakly to the Dirac measure located at 0 (if we view these as measures on with the usual topology), but it does not converge setwise. This is intuitively clear: we only know that is "close" to because of the topology of .
以上の定義は、任意の距離化可能な位相空間 に対しても広げることができて、に弱位相 を定める。（ここに とは可測空間 上の確率測度の集合である。）有界な連続関数 、実数 、正の数 に対して、集合 を定めると、は 上の開基を成し、 を生成する。
距離化可能であることに加えて が可分でもあるなら、 は距離化可能かつ可分である。（それは、例えば、レヴィ–プロホロフ計量によって距離化可能である。）さらに がコンパクトであれば、 もコンパクトである。あるいは、 がポーランド空間であれば、 もポーランド空間である。
が可分であるだけなら、it naturally embeds into as the (closed) set of Dirac measures, and its convex hull is dense.
確率変数の弱収束 確率空間 から距離空間 への確率変数列 が確率変数 に弱収束する（または分布収束する）とは、による押し出し測度 が による押し出し測度 に弱収束することである。
距離空間 について、以下の関数空間が確率測度の収束を論じるときによく使われる。
上の連続関数のクラス 有界関数のクラス 原点の遠くで0になる関数のクラス あるコンパクト集合の外側で0になる関数のクラス
これらは包含関係 にある。さらには は の（一様収束の意味での）閉包である。
Vague Convergence 上の測度列 が に vague convergence するとは、全ての について が成り立つことである。これを と書く。
弱収束 上の測度列 が に弱収束するとは、全ての について が成り立つことである。
緊密性の仮定の下では、上の2つの収束は一致する。
確率測度の弱極限は、存在すれば、また確率測度である。しかし、一般には、緊密性の仮定無しには、確率測度列（あるいは sub-probability 測度列）の vague limit は必ずしも確率測度ではなく、sub-probability 測度 ( )に収束する。従って、vague convegence する確率測度列 が弱収束することは保証されない。
＊弱収束としての弱収束 同じ「弱収束」という語が当てがわれているにもかかわらず、測度の弱収束とは関数論でいうところの＊弱収束である。
バナッハ空間 において（関数解析における）弱収束と＊弱収束は以下のように定義される。
上の点列 が点 に弱収束するとは、任意の線型汎関数 に対して が に収束することである。これを と書く。 上の線型汎関数列 が線型汎関数 に＊弱収束するとは、任意の点 に対して が に収束することである。これを と書く。
例えば、vague convergence は（関数解析における）＊弱収束である。局所コンパクトなハウスドルフ空間 について、リースの表現定理によると、有限なラドン測度の空間 は 上の連続な線型汎関数の空間に同型である。例えば、同型写像 は次のように与えることができる。有限なラドン測度 に対して線型汎関数 を次のように定める。
この下で、 が＊弱収束するなら が vague convergenceすることがわかる。さらに、 がコンパクトであれば、と は一致するので、（測度論における）弱収束は（関数解析における）＊弱収束である。
関連項目 確率変数の収束 レヴィ・プロホロフ計量 プロホロフの定理 測度の緊密性
参考文献
出典