二項変換

二項変換（にこうへんかん、）は、組合せ数学における数列の変換法の一種。

定義数列が数列の二項変換であるとは、

が成立することをいう。ここで、は二項係数である。形式的には、二項変換の作用素をとしたとき、

と書ける。ただし、はその成分が

で与えられる無限次元の行列である。

このように定義された二項変換は対合である。すなわち、

が成立する。同じことは、添字表記法では

と表現される( はクロネッカーのデルタである)。このことから、二項変換された数列にもう一度二項変換を施すことで元の数列が復元できることがわかる:

二項変換で得られる数列は、元の数列の-階の前進差分であって、奇数回目の符号を反転させることによって得られる数列でもある。すなわち、を前進差分の作用素として、

が成立している。

いくつかの書籍においては二項変換は異なる符号の規約のもと定義される場合がある:

この場合、この作用を2回かけても元の数列には一致しない。この時の逆作用は

となる。

具体例差分表では、両方の符号の取り方における二項変換のどちらの形式も出現する。ここでは例として、数列を考える。今、の隣接する2項の差分をとることで、新たな数列を取ることができ、それをと定義する。同様に、で逐次的に与えていくと、これらは次のような差分表を与える: 0 1 10 63 324 1485 1 9 53 261 1161 8 44 208 900 36 164 692 128 528 400 この表で、行目の番目にある数字はに対応している(ただし、各行・各列で最初の要素をゼロ番目として読む)。なお、の一般項は

である。

に関しての規約を採用する二項変換を施すと、が得られる。これはに一致する。差分表の上では、最初の行に関して二項変換を施した場合、左上から始まる斜めの数字を読んでいくことで得られる数列が得られる。

一方、ある正の整数をとり、に対してと定めると、の添字に関しての符号の規約のもとでの二項変換を施すことで

がの範囲で得られる。これはに一致する。

差分表の上では、最初の行を逆方向に読むような数列に関して二項変換を施した場合、その数列の始点から始まる左斜め下方向の直線上の数字を読んでいくことで得られる数列が得られる。

通常型母関数二項変換は、興味のある数列とその母関数を結びつける。数列の通常型母関数は

で定義される。ここで、の二項変換で得られる数列の通常型母関数を

で定義しておくと、両者の間に

という関係式が成立する。

オイラー変換通常型母関数が満たす関係性はオイラー変換()と呼ばれることがある。この変換は交代級数の収束を速めるために利用されることがある。先の母関数の表示でを代入することで、

が得られる。右辺の項は典型的には左辺よりもはるかに速いペースで小さくなっていくため、迅速な数値積分が可能となる。

オイラー変換の一般化として、

という形が知られている。ただしである。

オイラー変換は、超幾何関数にもよく適用される。ここでは、オイラー変換は

という形で表される。他の超幾何関数に対する一般化については文献を参照せよ。

二項変換やオイラー変換は、連分数表示とも関連性がある。あるが連分数表示

を持つとする。この時、

が成立する。また、

も成立する。

指数型母関数数列の指数型母関数を

とし、同様にの指数型母関数を

で与える。この時。両者の間に

なる関係が成立する。ボレル変換は、通常型母関数を指数型母関数に変換する。

畳み込みとを複素数列とする。これらのbinomial convolution (直訳:二項畳み込み)を

で与えるとする。この畳み込みについてはConcrete Mathematicsに記述がある。

二項畳み込みが結合法則および交換法則を満たすことは容易にわかる。また、数列を (0番目のみ1で、残りは0となるような数列)で与えると、任意の数列に対してである。さらに、を満たす数列について、ある数列であってとなるようなものが存在することを簡単に示すことができる( は直ちに判明する。が全てわかっていれば、を変形することでを既知の量だけで表すことができる)。よって、なる複素数列はこの畳み込みを二項演算とするアーベル群をなす。

二項畳み込みは指数型母関数の積から自然に出現する。実際、

が成立する。

二項変換は、二項畳み込みとして記述することもできる。数列と (全ての項が1である数列)を定義すると、

と表せる。一方、対合ではない二項変換の場合は

である。また、とが二項畳み込みのなすアーベル群の下では互いの逆元であることに注意すると、

が成立することもわかる。

一方、異なる二項畳み込みを定義する文献もある。McCarthyらの文献では、に対して定義される2つの関数に関する、次のような二項畳み込みに関する記述がある:

ここで、はがの約数であることを指し、は自然数の素因数分解であり、は二項係数である。この種の二項畳み込みについてはTothらの研究でさらに詳しい性質が調べられている。

積分表示数列が複素解析関数で補間できる場合、その数列の二項変換は、補間関数に対するネールント–ライス積分を用いて表すことができる。

一般化 Prodingerは、二項変換に関連するモジュラー形式的な変形を導いた。2つの数列が

と関係付けられる場合、それらの通常型母関数

の間に

なる関係式が成立する。とすれば元の母関数の関係式を再現する。

Spiveyらは、上昇・下降 -二項変換 ()を与えた。彼らの定義によれば、上昇 -二項変換は

で与えられ、一方、下降 -二項変換は

で与えられる。どちらも、ハンケル行列変換に対しては写像の核として振る舞う。

また、数列からへの二項変換を

で定義し、これをで表すとする。

このように元の数列から二項変換によって得られた数列に対して、再び二項変換を施し、それをとおくと、これはを用いて

と表せるとわかる。以下同様に、二項変換を回繰り返して得られる数列は

で与えられることが示される。一方、この場合の逆二項変換は

で与えられる。シフト作用素を用いれば、これらを一般化して

がで成立する。

この逆作用は

と表される。

Źródło i licencja