命数法

サムネイル|307x307ピクセル|この画像は、同一の数値が異なる記数体系によってどのように表記されるかを比較したものである。掲載されている記数法は、点字数字、アラビア数字、デーヴァナーガリー数字、インド数字、漢数字、大字（簡体字）、およびローマ数字である。それぞれの体系は、文化的背景や用途に応じて異なる記号体系を持ち、数の視覚的・構造的な表現方法に多様性をもたらしている。命数法（めいすうほう）とは、整数を数詞によって表す方法、すなわち数の唱え方をいう。数字その他の記号を用いて数を表す記数法とは区別される。

概説命数法は、数を言語的に表現する体系である。たとえば、12 という数を日本語で「じゅうに」、英語で twelve、フランス語で douze と言う場合、これらはいずれも命数法による表現である。これに対し、「12」「十二」「XII」のような表記は数字による表現であり、記数法の問題に属する。

数を表す手段としては、数詞による命数法と、数字による記数法とが対応関係を持つ。Encyclopaedia Britannica は、numerals を数を表す記号、numeral systems をそれらの記号と大きな数を表す規則の体系と説明しており、命数法はこれに対して数詞による表現法にあたる。

数詞・記数法との関係命数法は数詞を用いる体系であり、記数法は数字を用いる体系である。たとえば、日本語の「じゅうに」は命数法による表現であり、「12」はアラビア数字による記数法上の表現である。同じ数を表していても、前者は言語体系、後者は表記体系に属する。

コトバンク掲載の「数字と記数法」でも、数字は数を記録・保存・伝達するための記号であり、記数法は数を数字で表す表し方とされている。これに対し、命数法は数を数詞で表す表現法として位置づけられる。

構成原理一般に、すべての整数に個別の数詞を与えることは現実的でないため、命数法では、少数の基本的な数詞と、それらを組み合わせる規則によって他の数を表す。コトバンクでも、一般には個々の整数すべてに別個の数詞を与えることは不可能であり、特定の数詞の組合せで他の数を表すとしている。

このため、命数法は通常、少数の基本語と、それらを結合する一定の規則から成る。十進命数法では、一から十までの数詞を基礎とし、十一、十二、二十、二十一のように構成していく。

類型十進法を基礎とする命数法今日もっとも広く見られる命数法は、十進法を基礎とするものである。コトバンクによれば、十進命数法では、まず一から十までの数について数詞が定められ、十を超える数は「十一」「十二」などのように構成される。さらに、十が十個で「百」、百が十個で「千」、千が十個で「万」というように、新たな位の数詞が用いられる。

二十進法的特徴を持つ命数法命数法の基礎が十進法であっても、部分的に二十進法的な構成を残す言語がある。Britannica は、英語では base 20 の痕跡が主として score に見られ、フランス語では quatre-vingts （80、「4×20」）に残っていると説明している。また、同じくデンマーク語やウェールズ語にも二十進法的な痕跡が見られる。

大数命名の類型大数の命名では、西欧系言語を中心に、109 以降の名称が異なる long scale と short scale の区別が知られている。short scale では 109 が billion、1012 が trillion であるのに対し、long scale では 109 に milliard 相当語を用い、billion 相当語は 1012 を指す。英国議会図書館は、現在の英国の公式統計では billion は 109 を意味すると説明している。

諸言語における命数法日本語日本語の命数法は十進命数法を基礎とし、「一、二、三、四、五、六、七、八、九、十」を基本に、「百」「千」「万」「億」などの数詞を組み合わせて整数を表す。コトバンクも、十進命数法では一から十、および百・千・万・億などの数詞を用いて表すとしている。

また、日本では千の次を万とし、その後に億、兆、京などを置く四桁進法的な区切りが用いられる。コトバンク掲載のブリタニカ国際大百科事典小項目事典では、命数法を「4けたごとの数団に分け、簡単な単位にする方法」と説明し、万（104）、億（108）、兆（1012）、京（1016）、垓（1020）などを挙げている。

日本語の数詞体系では、助数詞との結びつきも強い。コトバンクの「数詞」では、「一枚・二枚」「一本・二本」のように数詞が助数詞を伴うことが示されている。

英語現代英語圏では通常 short scale が用いられる。英国では歴史的に long scale も用いられたが、英国議会図書館は、現在の公式統計では billion は 1 thousand million（109）を指すと説明している。

一方、英語の数詞体系には、十進法を基礎としつつも、古い二十進法的残存として score が見られる。Britannica は、英語における base 20 の痕跡は主として score に残るとしている。

ロマンス諸語ロマンス諸語の命数法は、基本的には十進法を基礎としているが、数詞の構成要素の順序、接続要素の有無、総合的か分析的かといった形式差を持つ。ケンブリッジ版『The Cambridge Handbook of Romance Linguistics』の “Counting Systems” 章は、標準ロマンス諸語および方言間で、十進法を基礎としつつも、二十進法的形成やその他の逸脱的構成が見られると説明している。

フランス語現代フランス語では long scale が標準であり、Académie française は milliard を 109、billion を 1012 としている。したがって、英語の billion とフランス語の billion は通常は同じ値を指さない。

また、フランス語の数詞体系には、二十進法的残存として quatre-vingts （80、「4×20」）がある。Britannica はこれを base 20 の代表例として挙げている。

ドイツ語ドイツ語も long scale を採用しており、Duden は Milliarde を「tausend Millionen（1000 million）」、Billion を「eine Million Millionen（1012）」と定義している。

イタリア語イタリア語でも long scale が標準であり、Treccani は bilione を「un milione di milioni（1012）」と説明している。

スペイン語スペイン語でも原則として long scale が用いられる。王立スペインアカデミーは billón を「un millón de millones（1012）」とし、英語の billion の影響による 109 の意味での使用は推奨していない。109 には mil millones や millardo を用いるのが望ましいとされる。

ポルトガル語ポルトガル語圏では差があり、ポルトガルでは bilião を 1012 とする long scale 的説明が見られる一方、ブラジルでは bilhão = 109 の short scale が一般的であるとされる。したがって、同一言語内でも地域差が存在する。

デンマーク語デンマーク語の命数法は、全体としては十進法に立つが、50・60・70・80・90 の数詞に二十進法的残存が見られる。Britannica は、デンマーク語にもフランス語やウェールズ語と同様に base 20 の痕跡があると説明している。

特に、50 を表す halvtreds は、Britannica の関連説明では「2.5×20」に由来する例として挙げられている。また、デンマーク語辞書では古形 halvtredsindstyve が 50 を表す語として記録されている。

大数の命数法大きな数の呼称は、命数法の重要な一部である。レファレンス協同データベースでは、『図解単位の歴史辞典』の「命数法」項および「大数と小数」の表に、大数の命数法や位取りがまとめられていることが紹介されている。

言語によって、大数の位名の切り方や命名規則は異なる。日本語のように四桁ごとに区切る体系もあれば、西欧系言語のように 109 以降の名称に long scale / short scale の差が現れる体系もある。

主な大数の位名（日本語の例） + 日本語の主な大数の位名数値位名備考 101 十基本的な十進命数法の位名 102 百同上 103 千同上 104 万日本語ではここで新たな位名を置く 108 億四桁進法による次の大きな位 1012 兆 1016 京 1020 垓コトバンク掲載ブリタニカ小項目事典で例示 1024 𥝱 1028 穣 1032 溝 1036 澗 1040 正 1044 載 1048 極 1052 恒河沙 1056 阿僧祇 1060 那由他 1064 不可思議 1068 無量大数

仏典の数詞 + 八十華厳における命数名称読み数倶胝くてい0107阿庾多あゆた11014那由他なゆた21028頻波羅びんばら31056矜羯羅こんがら410112阿伽羅あから510224最勝さいしょう610448摩婆羅まばら710896阿婆羅あばら8101792多婆羅たばら9103584界分かいぶん10107168普摩ふま111014336禰摩ねま121028672阿婆鈐あばけん131057344弥伽婆みかば1410114688毘攞伽びらか1510229376毘伽婆びかば1610458752僧羯邏摩そうがらま1710917504毘薩羅びさら18101835008毘贍婆びせんば19103670016毘盛伽びじょうが20107340032毘素陀びすだ211014680064毘婆訶びばか221029360128毘薄底びばてい231058720256毘佉擔びきゃたん2410117440512称量しょうりょう2510234881024一持いちじ2610469762048異路いろ2710939524096顛倒てんどう28101879048192三末耶さんまや29103758096384毘覩羅びとら30107516192768奚婆羅けいばら311015032385536伺察しさつ321030064771072周広しゅうこう331060129542144高出こうしゅつ3410120259084288最妙さいみょう3510240518168576泥羅婆ないらば3610481036337152訶理婆かりば3710962072674304一動いちどう38101924145348608訶理蒲かりぼ39103848290697216訶理三かりさん40107696581394432奚魯伽けいろか411015393162788864達攞歩陀たつらほだ421030786325577728訶魯那かろな431061572651155456摩魯陀まろだ4410123145302310912懺慕陀ざんぼだ4510246290604621824瑿攞陀えいらだ4610492581209243648摩魯摩まろま4710985162418487296調伏ちょうぶく48101970324836974592離憍慢りきょうまん49103940649673949184不動ふどう50107881299347898368極量ごくりょう511015762598695796736阿麼怛羅あまたら521031525197391593472勃麼怛羅ぼまたら531063050394783186944伽麼怛羅がまたら5410126100789566373888那麼怛羅なまたら5510252201579132747776奚麼怛羅けいまたら5610504403158265495552鞞麼怛羅べいまたら57101008806316530991104鉢羅麼怛羅はらまたら58102017612633061982208尸婆麼怛羅しばまたら59104035225266123964416翳羅えいら60108070450532247928832薜羅べいら611016140901064495857664諦羅たいら621032281802128991715328偈羅げら631064563604257983430656窣歩羅そほら6410129127208515966861312泥羅ないら6510258254417031933722624計羅けいら6610516508834063867445248細羅さいら67101033017668127734890496睥羅へいら68102066035336255469780992謎羅めいら69104132070672510939561984娑攞荼しゃらだ70108264141345021879123968謎魯陀めいろだ711016528282690043758247936契魯陀けいろだ721033056565380087516495872摩覩羅まとら731066113130760175032991744娑母羅しゃもら7410132226261520350065983488阿野娑あやしゃ7510264452523040700131966976伽麼羅かまら7610528905046081400263933952摩伽婆まかば77101057810092162800527867904阿怛羅あたら78102115620184325601055735808醯魯耶けいろや79104231240368651202111471616薜魯婆べいろば80108462480737302404222943232羯羅波からは811016924961474604808445886464訶婆婆かばば821033849922949209616891772928毘婆羅びばら831067699845898419233783545856那婆羅なばら8410135399691796838467567091712摩攞羅まらら8510270799383593676935134183424娑婆羅しゃばら8610541598767187353870268366848迷攞普めいらふ87101083197534374707740536733696者麼羅しゃまら88102166395068749415481073467392馱麼羅だまら89104332790137498830962146934784鉢攞麼陀はらまだ90108665580274997661924293869568毘伽摩びかま911017331160549995323848587739136烏波跋多うはばた921034662321099990647697175478272演説えんぜつ931069324642199981295394350956544無尽むじん9410138649284399962590788701913088出生しゅっしょう9510277298568799925181577403826176無我むが9610554597137599850363154807652352阿畔多あばんた97101109194275199700726309615304704青蓮華しょうれんげ98102218388550399401452619230609408鉢頭摩はどま99104436777100798802905238461218816僧祇そうぎ100108873554201597605810476922437632趣しゅ1011017747108403195211620953844875264至し1021035494216806390423241907689750528阿僧祇あそうぎ1031070988433612780846483815379501056阿僧祇転あそうぎてん10410141976867225561692967630759002112無量むりょう10510283953734451123385935261518004224無量転むりょうてん10610567907468902246771870523036008448無辺むへん107101135814937804493543741046072016896無辺転むへんてん108102271629875608987087482092144033792無等むとう109104543259751217974174964184288067584無等転むとうてん110109086519502435948349928368576135168不可数ふかすう1111018173039004871896699856737152270336不可数転ふかすうてん1121036346078009743793399713474304540672不可称ふかしょう1131072692156019487586799426948609081344不可称転ふかしょうてん11410145384312038975173598853897218162688不可思ふかし11510290768624077950347197707794436325376不可思転ふかしてん11610581537248155900694395415588872650752不可量ふかりょう117101163074496311801388790831177745301504不可量転ふかりょうてん118102326148992623602777581662355490603008不可説ふかせつ119104652297985247205555163324710981206016不可説転ふかせつてん120109304595970494411110326649421962412032不可説不可説ふかせつふかせつ1211018609191940988822220653298843924824064不可説不可説転ふかせつふかせつてん1221037218383881977644441306597687849648128

八十華厳唐の実叉難陀訳の『華厳経（八十華厳）』（新訳華厳経、唐経、大正蔵279）の第45巻「阿僧祇品第三十」には、上の表に示した命数が記述されている。

105 を洛叉、100洛叉（107）を倶胝（くてい）とし、倶胝以上を上数として123の命数が列挙されている。

最大の命数である不可説不可説転は

という巨大な数となる。

小数の命数法命数法は整数だけでなく、小数の呼称にも及ぶ。

レファレンス協同データベースでは、『日常の数学事典』の「命数法―大きい数と小さい数の呼び方―」や『図解単位の歴史辞典』の「命数法」項に、小数の命数法が掲載されていることが紹介されている。

同データベースによれば、日本語の小数の命数法として「分」から「浄」までの数詞が記載された資料があり、『塵劫記』では「虚」は 10-20、「空」は 10-21、「清」は 10-22、「浄」は 10-23 に対応する。一方、『算法統宗』ではこれと異なる対応が見られ、小数の命数法には資料差が存在する。このため、小数の命数法を記述する際には、史料や版による差異に留意する必要がある。

レファレンス協同データベースでも、『塵劫記』と『算法統宗』で値が異なることや、「小数の日本語表記には諸説ある」とする資料が紹介されている。

小数の命数法（代表的対応） + 小数の命数法（代表的対応）数値数詞出典系統備考 10-1 分複数資料で共通小数命名の起点 10-2 厘複数資料で共通 10-3 毛複数資料で共通 10-4 糸複数資料で共通 10-5 忽複数資料で共通 10-6 微複数資料で共通 10-7 繊複数資料で共通 10-8 沙複数資料で共通 10-9 塵複数資料で共通 10-10 埃複数資料で共通 10-11 渺 10-12 漠 10-13 模糊 10-14 逡巡 10-15 須臾 10-16 瞬息 10-17 弾指 10-18 刹那 10-19 六徳 10-20 虚空『新数学事典』『日常の数学事典』など二字をまとめる資料例 10-21 清浄『新数学事典』『日常の数学事典』など二字をまとめる資料例

小数の命数法（資料差のある対応） + 小数の命数法（資料差のある対応）数値『塵劫記』系の例『算法統宗』系の例備考 10-20 虚虚『算法統宗』系では指数対応が大きく異なる 10-21 空『算法統宗』系では空欄・異説あり 10-22 清同上 10-23 浄同上

また、レファレンス協同データベースでは、『図解よくわかる単位の事典』『数える・はかる・単位の事典』などに、「清浄」に続いて「阿頼耶」「阿摩羅」「涅槃寂静」を載せる例が紹介されている。ただし同データベースは、これらについて『塵劫記』『算法統宗』『算学啓蒙』の原典資料では確認できなかったとしている。之はWikipedia記事「涅槃寂静」からの引用と思われるが、デジタル化されたJPSearchの史料には記載が無い。

参考：一部資料に見られる清浄以後の小数名 + 参考：一部資料に見られる清浄以後の小数名数値数詞掲載が確認された資料注意 10-22 阿頼耶『図解よくわかる単位の事典』『数える・はかる・単位の事典』原典確認は未了とされる 10-23 阿摩羅『図解よくわかる単位の事典』『数える・はかる・単位の事典』同上 10-24 涅槃寂静『図解よくわかる単位の事典』『数える・はかる・単位の事典』同上

歴史命数法の歴史は、数を音声言語によって表現する必要とともに発達した。Britannica も、数字による図形表現より前に、人間はまず数を数え、音声で小さい集団の個数を区別していたであろうと述べている。

日本語においては、十進命数法を基礎とする数詞体系が整えられ、大数・小数の名称も算書や辞典類を通じて整理されてきた。レファレンス協同データベースでは、『塵劫記』以後、日本での数の呼び方は四桁進法に統一され、整然としたものになったとする『日常の数学事典』の説明が紹介されている。

他の表現体系との関係命数法は、言語における数の表現法であり、記数法と対応しつつも一致するとは限らない。数字体系が位取りや記号の規則を中心とするのに対し、命数法は数詞の構成順序や位名の置き方によって特徴づけられる。

したがって、命数法は「数を語としてどう表すか」という問題を扱う体系であり、数字による表記法とは別個に考える必要がある。

脚注

Źródło i licencja