正八胞体（せいはちほうたい、、オクタコロン〈〉とも）とは、四次元正多胞体の一つ。8個の立方体からできている。四次元の超立方体である。
四次元（超）立方体（）、超立方体（）、テッセラクト（、テセラクトとも）ともいう。文献によっては4-cubeの逐語訳に近くかつ短い「4-立方体」と呼ぶこともある。「テッセラクト」は、チャールズ・ハワード・ヒントンの造語とされる。
性質 要素の個数と接続関係 胞（3次元要素）：8個。全て立方体。 面：24枚。全て正方形。各面には立方体2個が集まる。 辺：32本。各辺には正方形3枚、立方体3個が集まる。 頂点：16個。各頂点には辺4本、正方形6枚、立方体4個が集まる。 双対：正十六胞体 シュレーフリ記号：{4,3,3}
各次元の要素の個数についての解釈や算出方法はいくつかある。例えば、正八胞体を立方体が第4の方向に適当な距離だけ運動した軌跡――いわば「立方体柱(cubic prism)」――と見ることによる算出は、よく知られている。一般に k 次元要素の個数は と表される。
パスカルの三角形の最上段を0行目、の最上段を0段目と数えることにする。正八胞体の胞、面、辺、頂点の数はそれぞれパスカルのピラミッドの4段目の三角形の適当な行の数字の総和に等しい。超立方体の最も長い対角線に沿って見た場合、胞、面、辺、頂点はそれぞれパスカルのピラミッドの4段目の適当な行に並ぶ数字通りのグループに分割される。
また、面、辺、頂点に集まる各次元の図形の数は、それぞれに対応する面図形、辺図形、頂点図形におきかえて数えることができ、それぞれ、線分の端点の数、正三角形の頂点と辺の数、正四面体の頂点と辺と面の数に等しい。それぞれパスカルの三角形の2行目、3行目、4行目の両端以外の項としても現れる。
頂点座標 16個の頂点の座標の取り方の例を挙げる。最も考えやすいのは次のように取ることだろう。 (±1, ±1, ±1, ±1) (複号任意) …… 16個 この場合、一辺の長さは2になる。第4の座標を無視するように3次元へと平行投影すると、3次元の立方体と同じ形になる。
また、次のように頂点を取ることもできる。 (±2, 0, 0, 0) の全ての置換 …… 8個 (±1, ±1, ±1, ±1) (複号同順) …… 2個 (1, 1, −1, −1) の全ての置換 …… 6個 （2行目と3行目をまとめて、(±1, ±1, ±1, ±1) の複号のうち偶数個が正であるものと言い換えることもできる。） この場合、一辺の長さは2になる。第4の座標を無視するように3次元へと平行投影すると、3次元の菱形十二面体と同じ形になる。
その他の性質 正八胞体の内部を無視して境界上の立方体だけを考えるとき、分離しない展開図は261通りある。ただし、3次元空間において鏡像関係にあるものを同一視して数えている。MathWorld, “Tesseract” (Weisstein)
正八胞体の2次元以上の要素を無視し、頂点と辺のみをえがく図（骨格グラフなどと呼ばれる）は、2次元平面にえがくと必ずどこかに辺の交差を生じる。これはクラトフスキーの定理などの例になっている。
立方体の針金をせっけん液に二度浸してシャボン玉を作ると、正八胞体のある種の三次元投影図の形になることが知られている（ただし、このときできる面はわずかに曲がっている）。
ギャラリー
脚注
関連項目 正五胞体 正十六胞体 正二十四胞体 正百二十胞体 正六百胞体 超立方体 - 一般次元の場合の解説
外部リンク
- 展開図の一覧 三角四角のしゃぼん玉? cssでもここまで描ける！チカラワザで作り上げた3D表現5連発｜NEWS｜株式会社INDETAIL（インディテール） - 四次元立方体をHTMLとCSSのみで表現