概要 存在定理（そんざいていり。または）とは、何らかの条件を満たす数学的対象が存在することを主張する定理の総称である。
構成的証明と非構成的証明 存在定理の証明は、大きく分けて構成的証明（constructive proof）と非構成的証明（non-constructive proof）の2種類に分類される。
構成的証明：求められる条件を満たす対象を具体的に作ること（あるいはその構築アルゴリズムを示すこと）によって存在を示す。 非構成的証明：対象の具体的な値や構成手順を示さずに、理論的な矛盾（背理法）や位相的性質（コンパクト性や連続性）、集合論的道具（選択公理やツォルンの補題）などを用いて「存在しないと仮定すると矛盾する」あるいは「必ず存在しなければならない」ことのみを示す。
数理論理学や直観主義論理においては、非構成的な存在証明を排し、構成的な存在証明のみを有効とみなす立場も存在する。
存在と一意性 数学の多くの文脈において、ある対象が存在することだけでなく、それが「ただ1つに限られるか」という一意性（uniqueness）も同時に問われる。存在と一意性の両方を主張する定理は存在と一意性の定理（existence and uniqueness theorem）と呼ばれる。
たとえば、微分方程式の初期値問題におけるピカール＝リンデレーフの定理は、局所的な解の「存在」と「一意性」を同時に保証する代表的な定理である。
具体例
解析学・微分方程式・関数解析 中間値の定理：閉区間 上で連続な関数 について、 と の間の任意の値 に対して を満たす が存在する（非構成的存在定理の代表例）。 最大値最小値定理：有界閉集合（コンパクト集合）上の連続実数値関数は最大値および最小値をとる点が存在する。 ロルの定理および平均値の定理：微分可能な関数における導関数の特定の値を達成する点の存在を示す。 ペアノの存在定理：連続な右辺を持つ1階常微分方程式の初期値問題において、局所解が存在することを示す（一意性は必ずしも成り立たない）。 ピカール＝リンデレーフの定理：右辺がリプシッツ連続性を満たす場合、微分方程式の解が存在し、かつ一意であることを示す。 コーシー＝コワレフスカヤの定理：解析的な偏微分方程式系における局所的な解析解の存在と一意性を示す。 ハーン＝バナッハの定理：部分空間上で定義された有界線型作用素を、ノルムを保ったまま空間全体に拡張できることを示す（選択公理に依存する非構成的存在定理）。 ヴィタリの定理：選択公理を仮定すると、ルベーグ測度に関して測度不能な実数の部分集合（ヴィタリ集合）が存在することを示す。 不動点定理：ある条件を満たす自己写像について、 を満たす点（不動点）の存在を示す。例えばバナッハの不動点定理（完備距離空間上の縮小写像に対する不動点の一意存在）やブラウワーの不動点定理（単位球上の連続写像に対する不動点の存在）などがある。 閉凸射影定理（minimizing vector theorem）：ヒルベルト空間の閉凸部分集合（または閉部分空間）に対し、任意の点からの距離を最小化する唯一の点（最良近似点）が存在することを示す。 リースの表現定理：ヒルベルト空間上の任意の連続線型汎関数に対し、内積表現を可能にする表現元が唯一存在することを示す。
代数学 代数学の基本定理：定数でない任意の1変数複素数係数多項式は、複素数の中に少なくとも1つの根（ゼロ点）を持つ。 中国剰余定理：互いに素な整数を法とする一連の同余式を満たす整数の存在（および合同を除いた一意性）を示す。 クルルの定理：単位元を持つ任意の非ゼロ環には、少なくとも1つの極大イデアルが存在する（証明には通常ツォルンの補題が用いられる）。 ハメル基底の存在：選択公理（またはツォルンの補題）を仮定すると、任意のベクトル空間には基底（ハメル基底）が存在することを示す。 シローの定理：有限群の位数を除する素数冪の位数を持つ部分群（シロー部分群）が存在することを示す。
幾何学 分離超平面定理：互いに交わらない2つの凸集合を分離する超平面が存在することを示す（ハーン＝バナッハの定理の幾何学的形態）。
関連項目 構成的証明 背理法 選択公理 ツォルンの補題 鳩の巣原理
脚注