クライン–ゴルドン方程式 (クライン–ゴルドンほうていしき、) は、スピン0の相対論的な自由粒子を表す場（クライン–ゴルドン場）が満たす方程式である。スウェーデン人物理学者オスカル・クラインとドイツ人物理学者ヴァルター・ゴルドンにちなんで名づけられた。
概要 質量m の自由粒子を表すクライン–ゴルドン場をとすると、クライン–ゴルドン方程式は
と表される。ただし、∇2はラプラス作用素、c は光速度、はプランク定数を2πで割った定数（ディラック定数）である。クライン–ゴルドン方程式は、ローレンツ変換に対して形を変えない、相対論的に不変な方程式である。
ここで、ダランベールの演算子
と新たな量
を導入すれば、クライン–ゴルドン方程式は
と簡明に表すことができる。
なお、クライン–ゴルドン方程式の記述においては、とする自然単位系が採用されることも多い。
歴史 量子論の形成において、相対論的波動方程式は波動力学の基礎を築いたエルヴィン・シュレーディンガーによって、最初に考察された。シュレーディンガーは、波動力学の基礎方程式を導出する過程の中で、相対論的な方程式を考えたが、これは水素原子のスペクトル構造を正しく与えることができず、1926年に非相対論的なシュレーディンガー方程式を導くに至った。また、ルイ・ド・ブロイはド・ブロイ波の理論の中で、粒子性と波動性を持つ物質場を相対論的に論じた。
シュレーディンガー方程式による量子力学の定式化が成功を収めて間もなく、非相対論的なシュレーディンガー方程式の相対論的な方程式への拡張として、クライン–ゴルドン方程式がオスカル・クラインO. Klein, "Elektrodynamik und Wellenmechanik vom Standpunkt des Korrespondenzprinzips," Z. Phys., 41, 407 (1927) 、ヴァルター・ゴルドンW. Gordon, "Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie," Z. Phys., 40, 117 (1926) によって提案された。また、同時期にウラジミール・フォックV. Fock, "Zur Schrödingerschen Wellenmechanik"Z. Phys., 38, 242 (1926)、J. KudarJ. Kudar, "Zur vierdimensionalen Formulierung der undulatorischen Mechanik" Ann.der Phys. 386, 632 (1926) 、テオフィル・ド・ドンデらも同様な提案を行った。
しかしながら、当初、クライン–ゴルドン方程式が記述するは波動関数として解釈されたため、いくつかの問題を抱えていた。を波動関数と見なした場合、クライン–ゴルドン方程式は時間について二階の微分方程式であり、確率密度が負の値を取りうるため、量子力学における確率解釈が困難であった。また、正のエネルギーの解に加えて、負のエネルギーの解が現れるため、粒子が安定な状態をとれない問題を抱えていた。こうした問題から、クライン–ゴルドン方程式は一旦、理論から放棄されることとなった。
1928年にポール・ディラックは、この確率解釈の困難を解消すべく、クライン–ゴルドン方程式に代わる基礎方程式として、時間について一階の微分方程式であるディラック方程式を導いたP.A.M. Dirac, "The Quantum Theory of the Electron", Proc. R. Soc. A, 117, 610 (1928) 。ディラック方程式にも負のエネルギーが現れるものの、これは波動関数ではなく、正負の電荷をもつスピン1/2のフェルミ粒子の場（ディラック場）を記述する方程式と理解され、相対論的量子力学の基礎方程式と位置付けられるようになった。
ディラック方程式のみならず、クライン–ゴルドン方程式が、相対論的な場が満たす正しい方程式であることは、1934年にウォルフガング・パウリとヴィクター・ワイスコップによって示されたW. Pauli and V. Weisskopf, "Über die Quantisierung der skalaren relativistischen Wellengleichung," Helv. Phys. Acta 7, 709 (1934) 。パウリとワイスコップは、正準量子化したスピン0のボース粒子の場の満たす方程式がクライン–ゴルドン方程式であることを明らかにした。後に、クライン–ゴルドン方程式を満たすスカラー場の理論は、パイ中間子の理論の発展に寄与することとなった。
導出 相対論的な粒子のエネルギーを、運動量をp とすると、
が成り立つ。ただし、m は粒子の静止質量、c は光速度である。ここで、非相対論的量子力学とのアナロジーによって、 およびという置き換えをすると、
となる。この式を、クライン-ゴルドン場に作用する演算子に対する等式とみなすと、
を得る。上式の両辺をで割り、整理すると、クライン–ゴルドン方程式が得られる。
変分原理による導出 物理における他の基礎方程式と同様に、クライン–ゴルドン方程式も作用積分に対する変分から導くことができる（変分原理）。 クライン–ゴルドン方程式において、作用積分
のラグランジアン密度は、
で与えられる。ただし、添え字μについてはアインシュタインの記法に従った和を取るものとする。このとき、場の量に対するオイラー＝ラグランジュ方程式
より、上述のクライン–ゴルドン方程式が導かれる。
脚注
参考文献 J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics, Addison Wesley(1967) ISBN 978-0201067101 Silvan S. Schweber, An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory, Dover Publications (2005) ISBN 978-0486442280
関連項目 相対論的量子力学 波動方程式 - 電信方程式 クライン＝ゴルドン方程式 - スピン0の相対論的ボース粒子。スカラー場。 ディラック方程式 - スピン1/2の相対論的フェルミ粒子。スピノル場。 マクスウェル方程式 - スピン1、質量0の相対論的ボース粒子。ベクトル場。 プロカ方程式 - スピン1、質量が0でない相対論的ボース粒子。ベクトル場。 ラリタ＝シュウィンガー方程式 - スピン3/2。ベクトル・スピノル場（ラリタ＝シュウィンガー場）。 アインシュタイン方程式 - スピン2。