チェビシェフの不等式

チェビシェフの不等式（チェビシェフのふとうしき、）は、不等式で表される、確率論の基本的な定理である。パフヌティ・チェビシェフによって初めて証明された。

標本または確率分布は、平均の周りに、ある標準偏差をもって分布する。この分布と標準偏差との間の、どのような標本・確率分布でも成り立つ関係を示したのが、チェビシェフの不等式である。例えば、平均から標準偏差の 2 倍以上離れた値は、全体の 1/4 以下である。一般に、標準偏差の 倍以上離れた値は全体の 以下である。

歴史 この定理はロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフの名をつけられているが、最初にこの定理を示したのは彼の友人であり同僚でもあったIrénée-Jules Bienayméである。

この定理は最初に1853年に Bienaymé によって証明され、後の1867年にチェビシェフによってより一般的な形で証明された。彼の教え子であるアンドレイ・マルコフは、1884年に博士論文の中で別証明を与えたMarkov A. (1884) On certain applications of algebraic continued fractions, Ph.D. thesis, St. Petersburg.。

一般的表現 この不等式は測度論を使って一般的に述べることができ、それから特別の場合（測度空間の次元が 1）として、確率論での形が導かれる。

測度論的表現 を測度空間、 を 上で定義された拡張実数（無限大を含む）値可測関数とすると、任意の実数 に対して

となる。より一般的には、 が非負実数値可測関数で、 の値域の範囲で減少しないとすれば、 と定義し

となる。最初の式は、ここで を

で定義し、 の代わりに を用いれば導かれる。

確率論的表現 を、期待値が , 有限の分散が である確率変数とすると、任意の実数 に対して

ただし の場合にだけ意味がある。

余事象について、こうなる。

例として、 を使えば、少なくとも半数の値は区間   内に存在することが分かる。

チェビシェフの不等式は大数の法則（弱法則）の証明に用いられるものとして特に重要である。

例 分かりやすい例として、大量の文章があるとしよう。それらの文章の長さは、平均 () が 1000 文字であって、標準偏差 () が 200 文字であることが分かっているとする。すると、チェビシェフの不等式から、次の事実が導かれる。 長さが 717 から 1282 文字の文章の割合は少なくとも 50% である（ の場合）。 長さが 600 から 1400 文字の文章の割合は少なくとも 75% である（ の場合）。 長さが 400 から 1600 文字の文章の割合は少なくとも 88% である（ の場合）。 長さが 200 から 1800 文字の文章の割合は少なくとも 93% である（ の場合）。 長さが 2000 文字以下の文章の割合は少なくとも 96% である（ の場合）。

もし文章の長さが正規分布に従っているなら、次がいえる。 長さが 770 から 1230 文字の文章   の割合は 75% である。 長さが 717 から 1282 文字の文章   の割合は 84% である。 長さが 600 から 1400 文字の文章   の割合は 95% である。

証明 測度論的な証明 を } で定義すると

がすべてのに対して成り立つことより、

となる。上の不等式を で割れば、目的の不等式が得られる。

確率論的な証明 任意の実数確率変数 と任意の正の実数 に対して、マルコフの不等式から が得られる。この不等式に , を適用すると、チェビシェフの不等式が導かれる。

また直接証明する方法もある。事象 に対し が の指示関数に従う確率変数である（つまり は が起これば 、そうでなければ ）とする。すると

と証明される。

出典　

関連項目 マルコフの不等式