平方三角数（へいほうさんかくすう、）は平方数のうち三角数でもある自然数である。例えば 36 は6番目の平方数 62 であり、また8番目の三角数 でもあるので平方三角数である。平方三角数は無数にあり、最小のものは 1 である。
平方三角数を小さい順に列記すると 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, …（） となる。
k 番目の平方三角数 Nk は
で与えられる。この公式は、1778年にオイラーが発見している。
公式の導出 ある自然数 N が n 番目の三角数かつ m 番目の四角数であるとすると、
である。両辺を8倍して平方完成することにより (2n + 1)2 = 8m2 + 1 となる。x = 2n + 1, y = 2m とおけば、ペル方程式 x2 - 2y2 = 1 を得る。その一般解 (xk, yk) は
で与えられ、よって
である。したがって、k 番目の平方三角数 Nk = (yk/2)2 は冒頭の式で与えられる。
その他の性質 Nk は漸化式
を満たす。その母関数は
で与えられる。
脚注
参考文献
関連項目
三角数 平方数 ペル方程式
外部リンク