LTIシステム（）または線型時不変システム（Linear Time-Invariant system）とは、入力として関数を与えると何らかの関数を応答として返すシステム（動的システム）で以下の性質を満たすものである：
線形性：重ね合わせの原理が成り立つ。すなわち2つの関数の線形和を入力として与えると、それらの関数の応答の線形和が応答として返る 時不変性：入力を秒遅らせると、応答も秒遅れるだけで応答の関数の形そのものは変わらない事
LTIシステムは制御理論、電気回路、信号処理といった分野で登場する代表的なシステムの数学的なモデルである。
通常は時間を変数に取るシステムだが、空間（画像処理や場の古典論など）やその他の変数に対しても同様のシステムを考える事ができる。そのため、線型並進不変（linear translation-invariant）という用語も使われる。離散時間（標本化）系のLTIシステムを特に線型シフト不変（linear shift-invariant）システムという事がある。
概要 システムの定義 LTIシステムについて述べるために、まず(LTIとは限らない)システムについて説明する。「」の分野では、システムを以下のようにモデル化する。
ここでは時刻であり、、は数値もしくは数値の組に値を取る関数である。時刻が整数のみ値を取るシステムを離散時間システム、任意の実数に値を取るシステムを連続時間システムという。応答の値は同じ時刻ののみならず、別の時刻のに依存しても良いし、の時間微分に依存するなどしても良い。なお、の値は同じ時刻ののみに依存するシステムは無記憶なシステムもしくは静的システムと呼ばれ、「動的システム」という名称は静的システムの対義語である。
以下、簡単のためが連続時間システムで、、が複素数値を取る場合について述べるが、他の場合も同様である。
多くの場合、離散時間 (DT) 信号のほとんどは、連続時間 (CT) 信号を一定間隔で標本化したものである。CT信号を としたとき、アナログ-デジタル変換回路によってそれがDT信号 に次のように変換される。ここで T はサンプリング間隔である。DT信号が元の信号を正確に表現するには、入力信号の周波数の範囲を制限することが非常に重要である。標本化定理によれば、DT信号は までの範囲の周波数しか扱えない。さもなくば、高周波成分がその範囲に折り返し雑音として出てくる。
LTIシステムの定義 以下、暗黙の前提として、が「十分性質の良い」関数である事を仮定する。また後述するようにが積分で書けるシステムが多いが、入力によってはこの積分が発散し、が意味を持たないケースもある。しかし本稿では特に断りがない限り、そのようなは考えないものとする。
ここで、は任意の複素数、、、は任意の入力、は任意のの実数である。
線形性はこのシステムにおいて重ね合わせの原理が成立する事を意味する。一方、時不変性は直観的には入力が秒遅れた場合も秒遅れるだけで応答の関数の形そのものは変わらない事を意味する。
微分方程式で定式化されるLTIシステム 定数係数の線型な斉次微分方程式として定式化されるシステム、すなわち、何らかの定数を用いて入力と応答が
という形の微分方程式により記述されるシステムはLTIシステムである。ここではの回微分である。与えられた入力に対して()を解くことでシステムの応答を求める事ができる。
こうした微分方程式で記述されるLTIシステムの例として抵抗、インダクタ、コンデンサで構成される電気回路（RLC回路）がある。また、理想的なバネ-質量-ダンパ系もLTIシステムであり、数学的にはRLC回路と等価である。
上記のLTIシステムについて３つ留意点を述べる。第一に、()を解くにはの初期条件を決める必要があるが、システムがLTIである事を保証するには、この初期条件もから線形に決まっている必要がある。典型的にはである。
第二に、上では話を簡単にするため微分のみを含む演算子を考えたが、階積分
をも含めた形に自然に一般化できる。前述したRLC回路の例ではコンデンサの電圧は電力の積分によって記述されるため、このような一般化が必要となるケースに相当する。
第三に、上では連続時間のLTIシステムについて述べたが、離散時間の場合、のように差分方程式で定式化されるシステムはLTIシステムになる。
LTIシステムの具体的記述 本節では連続時間のLTIシステムと入力が十分性質が良ければ、出力を具体的に書き表わす事ができる事を見る。そのために以下の概念を定義する。
なお、デルタ超関数を通常の意味での関数ではないため、は一般には定義できるとは限らないが、が定義できる程度にの数学的性質が十分よい事を上では暗に仮定している。
インパルス応答を用いると、を畳み込み
により具体的に記述する事ができる：
上記の性質はシュワルツの核定理を用いる事により厳密に定式化できる。詳細は「平行移動に関して不変な場合のシュワルツの核定理」を参照されたい。
上記の性質に対する留意点を3つ述べる。第一に、インパルス応答は通常の意味での関数とは限らず、デルタ超関数などの超関数である可能性がある。例えばがデルタ超関数の回微分であれば、
のように応答がの回微分で書ける。()は積分によって記述されているものの、実際にはこのように応答にの微分が登場する事も起こり得、微分方程式()で記述されるシステムではこれが必要となる。
第二に、()の畳み込みは一般には積分が発散するなどして（たとえ超関数の範囲を考えても）意味を持つとは限らない。が（超関数の範囲で）意味を持つケースはいくつかあるが、応用上重要になるものとして、、がいずれも周期関数であるケースや、あるが存在して、の台がに含まれているケースがある。
第三に、前述のようにLTIシステムは微分方程式で記述される事が多いが、
という微分方程式でをデルタ超関数にしたときの解を基本解という。定義から明らかなように、この微分方程式で記述されるLTIシステムにおけるインパルス応答は基本解に一致する。上記の微分方程式の一般の解はと基本解の畳み込みにより表せる事が知られており（詳細は基本解の項目を参照）、()はこの基本解から一般の解を求める操作に相当する。
離散時間の場合 上では連続時間の場合を扱ったが、離散時間の場合も、離散時間に対するインパルス信号に対する応答
をのインパルス応答と呼ぶ事にすると、連続時間の場合の性質()と同様の性質を示す事ができる：
LTIシステムの性質 本節では(LTIとは限らない)システムの性質について述べ、LTIシステムの場合に対し、これらの性質を満たすための条件を述べる。まず、(LTIとは限らない)システムの性質として以下を挙げる： 物理的なシステムは必ず因果性を満たす。またシステムの安定性概念にはいくつかの定義があり、BIBO安定性はそうした定義の一つである。
が(連続もしくは離散時間の)LTIシステムの場合は()および()より以下が成立する。以下ではのインパルス応答である：BIBO安定ではない例としてインパルス応答がSinc関数と等しい理想的なローパスフィルタがある。これはSinc関数が有限のL1ノルムを持たないためである。従って何らかの有界な入力では、理想的なローパスフィルタの出力は無限となる。特に のとき入力がゼロで のときカットオフ周波数の正弦波となる場合、出力は原点以外では常に無限となる。
伝達関数 本節ではLTIシステムの解析に用いられる伝達関数について述べる。これは（連続時間の場合は）のインパルス応答のラプラス変換に相当し、がの固有値になるという事実が伝達関数の定義の背景にある。
伝達関数の概念を定義する主な目的は、の入力から応答を求める計算を楽にする事である。伝達関数によりこの計算が楽になる理由は、の具体的記述である()に登場する畳み込みがラプラス変換により単なる積に化ける事である。これにより伝達関数を使えば畳み込みのな積分計算をする事なくを求める事が可能になる。
制御理論では伝達関数を用いてシステムを解析する理論を伝達関数法もしくは古典制御理論と呼ぶ。それに対し状態空間法を用いてシステムを解析する理論を現代制御理論という。
本節ではまずラプラス変換の定義と性質を復讐し、次にがの固有値になっている事を見、それをベースにして連続時間の場合の伝達関数を定義し、その性質を紹介し、最後に離散時間の場合の伝達関数について述べる。
ラプラス変換
本節では伝達関数を定義するのに必要な概念であるラプラス変換を紹介する。詳細および参考文献についてはラプラス変換の項目を参照されたい。
が非負の実数なのに対し、は複素数である事に注意されたい。
ラプラス積分の中身のの部分はの実部が大きいほど収束が早い事から、ラプラス積分はの実部がある値より大きければ収束し、小さければ収束しない。をラプラス積分の収束座標といい、であればラプラス積分が収束するが存在する事になり、これがラプラス変換が定義される条件となる。
なお、ラプラス積分は積分区間の開始位置をでなくに変えたものを両側ラプラス変換というが、両側ラプラス変換はその数学的取り扱いに困難を抱える（詳細はラプラス変換#両側ラプラス変換を参照）。本稿ではLTIシステムが因果性を満たす場合、すなわちでは関数値がとなる場合を扱うので、片側ラプラス変換を考えれば十分である。
ラプラス変換は以下を満たす： ここでは実部が収束座標より大きい値である（のでラプラス変換が意味を持つ）ものとする。
最初の２つの性質はラプラス変換により微積分が単なる「倍して定数を引く」、「で割る」に化ける事を意味している。伝達関数はラプラス変換により定義されるので、これらの性質により、微積分の計算を避けてシステムを解析する事を可能になる。最後の性質はラプラス変換により畳み込みが単なる積に化ける事を意味しており、LTIシステムの記述（）に登場する畳み込みをラプラス変換により単なる積として扱える事を意味する。
が十分性質の良ければ、ラプラス変換から元の関数を再現できる事が知られている。これを
と書いて逆ラプラス変換という。 多くの場合、ブロムウィッチ積分を直接計算しなくとも留数定理を使う事で逆ラプラス変換を求める事ができる。詳細は後述する。
定義 前述したように物理的なシステムは常に因果性を満たすので、以下LTIシステムは因果性を満たす事を仮定する。LTIシステムの伝達関数を以下のように定義する。 伝達関数を定義する動機づけとして、以下の事実が知られている： なお、上では()の積分やラプラス積分がにおいて収束する事を暗に仮定している。
伝達関数の定義に関して２つ注意を述べる。第一に、上ではが因果的な事を仮定したが、この仮定がない場合はラプラス積分を両側ラプラス積分に置き換えたものが成立する。ただし前述のように両側ラプラス変換はその数学的取り扱いに困難を抱えるため、以下、が因果的な事を仮定する事で片側ラプラスを扱うものとする。
第二に、本稿では簡単のため1入力1出力の場合に話を限定しているが、複数変数の場合にはこれを行列化したを用いる。
基本性質 本稿では今後、への入力や応答もではになる場合を考えるものとする。このとき、以下が成立する： 実際、は畳み込みとの畳み込みで記述され（）、畳み込みのラプラス変換は積に化ける（性質L1）ので、上記の性質が従う（図E1）。
（）は図E2に記したようなブロック線図で記述される。
上記の性質から、の応答は以下の手順で求める事ができる事がわかる。
のラプラス変換を求める 伝達関数を求める を逆ラプラス変換する。
多くの場合は三角関数など簡単な関数で書けているので、上記のステップ1は既知の関数のラプラス変換の結果をまとめた表を調べる事で実施できる（ラプラス変換#変換テーブルを参照）。ステップ2および3を容易に計算する方法については後述する。
周波数伝達関数 先に進む前に、伝達関数を虚軸に制限したものに対する直観的な意味付けを述べる。
ただしがラプラス変換で定義されている関係上、上記においてが意味を持つのはでラプラス変換が意味を持つ時、すなわちの収束座標が負の値になるか、あるいは収束座標は非負だが解析接続により虚軸上でを定義可能な場合に限られる。なお、こうした条件を満たす事が解の安定性と関係している事を後の節で見る。
フーリエ変換の性質と上記の性質により、周波数伝達関数はを波の重ね合わせとしてみたときの周波数の成分を表す事がわかる。
周波数伝達関数は複素数値なのでその絶対値 を利得（ゲイン）といい、偏角 を位相（位相角）という。すなわち
の周波数特性を横軸・縦軸からなる２次元平面上にプロットする手法として、以下のものが知られている。以下の横軸・縦軸をの範囲でプロットする。 +横軸縦軸ナイキスト線図ボード線図ゲイン線図周波数ゲイン（対数目盛りで表記）位相線図周波数位相ニコルス線図ゲイン（対数目盛りで表記）位相
伝達関数の導出 サムネイル|：複数のシステムからなるシステムのブロック線図。このシステムは負のフィードバックループを含んでおり、図の「」「」はそれぞれ合流、分岐を表し、「」、「」はに入力するとき、をそれぞれ加算、減算する事を表す。 本節ではこれまで同様、システムへの入力や応答がではになる場合を考えるものとする。 これまで述べてきたように、の伝達関数を具体的に求める事ができれば、 ...()、再掲 を逆ラプラス変換する事での応答が求まる。本節では、図E3のような複数のブロックを含むシステムの伝達関数を求める方法を紹介する。
図E3のシステムの各ブロックは、このシステムの何らかのサブシステムを表しているが、これらのサブシステムは具体的な物理媒体に対応していてもよいし、システムの解析を簡単にするために導入された数式上でのみ存在するものであってもよい。
各ブロックは多くの場合、簡単な微積分により定義される。例えば
といったものである。よってラプラス変換の性質L1と()から、これらのブロックの伝達関数、は ...() となる。ここでという仮定を用いた。
システム全体の伝達関数 前節で各ブロックの伝達関数を求めたので、本節ではこれらの伝達関数を用いてシステム全体の伝達関数を求める方法を紹介する。そのために重要になるのが、以下の事実である： 上記の性質は畳み込みのラプラス変換が積に等しい事から従う。
サムネイル|：カスケードされたシステムのブロック線図 なお、あるシステムへの入力および応答に対し、 、 というLTIシステムを考えると、、はそれぞれ、のインパルス応答と一致し、したがって、が、の伝達関数である事がわかる。したがって（）は上記の性質の特殊な場合とみなせる。
上述の性質を用いると、ブロック線図から伝達関数を具体的に求める事ができる。例えば図E3のシステムの場合、システムを構成する各装置の伝達関数、を用いると、性質L2と（）から
である事が読み取れるので、これを解いて
となり、システム全体の伝達関数は
である事がわかる。
以上の議論からこのシステムの応答は入力から逆ラプラス変換
...()
により求まる事がわかる。実際には留数定理を使うなどしてこの積分を直接計算する事なしに求める事ができる場合が多い。詳細は次節で述べる。
逆ラプラス変換の計算
本節では前節で述べた逆ラプラス変換（）を留数定理によって計算する方法を述べる。なお、本節で述べる性質の導出についてはラプラス変換#留数定理による計算を参照されたい。
まず、これまでの議論を簡単に復習する。各ブロックの伝達関数の計算方法を述べた際に紹介したように、システムを構成する各ブロックは簡単な微積分で表示される事が多く、この場合伝達関数は ...（）、再掲 といったものになる。ここから、性質L2や（）などを使ってシステム全体の伝達関数は上記のような伝達関数の和や積を使って計算されるので、次の結論が得られる： システムの応答のラプラス変換は入力のラプラス変換との伝達関数を使って ...()、再掲 と書けていたので、もの有理式で書ける事を仮定すると、も有理式で書ける事になる。そこでを
との多項式、の商として表すと、（）より
が成立する。したがって多項式の根が上記の積分の極となるので、留数定理を使うことで以下が成立する事が分かる： ここでは単位ステップ関数（ヘヴィサイド関数）
であり、はデルタ超関数の回微分である。係数は実際に部分分数分解しなくとも、以下のように求める事ができる事をテイラー展開により確認できる：
特にが重根を持たない場合は、をより簡潔に計算できる：
解の安定性
前節と同様、LTIシステムの応答のラプラス変換がと有理式で書けているとする。このとき性質R1から特に以下が従う：
古典制御理論ではシステムの安定性を判別する手法として上記の系を用いる。上記の系の条件を満たす事の判別法としてラウス・フルビッツの安定判別法が知られている。
また、ラプラス変換の一般論として以下の初期値定理・最終値定理が成立するが、このうち最終値定理の方を使う事でも安定性が判別できる。なお、これらの定理はが有理式でなくとも成立する：
離散時間の場合 離散時間の場合はラプラス変換の代わりに片側Z変換
を用いる。すなわち、を離散時間の因果的LTIシステムのインパルス応答とすると、()より()と同様
のようにがの固有値である事がわかるので、
をの伝達関数と定義する。連続時間の性質と同様、カスケードしたシステムの伝達関数は、のシステムの伝達関数、の積になるので、連続時間の場合と同じく、ブロック線図からシステム全体の伝達関数を求める事ができ、そこから逆Z変換でシステムの応答を求める事ができる。
二次元安定性 一次元のシステムの安定性は伝達関数の極の実部の正負により定まる事が知られており（詳細はラプラス変換#解の安定性を参照）、連続時間であればラウス・フルヴィッツの安定判別法、離散時間であればジュリーの安定判別法により判別できる。
しかし二次元信号（例えば画像）の場合では、二元多項式が必ず因数分解できるとは限らないため、フィルターのBIBO安定性の判定は困難である。
まず、系の伝達関数がとして表示されて、以下のように極を分類する：
の根と違うの根は、第一類非真性特異点（Nonessential Singularities of the First Kind、NSFK）という； の根と重なるの根は、第二類非真性特異点（Nonessential Singularities of the Second Kind、NSSK）という。
NSSKはゼロと極を消去できなくで生まれる。例として、伝達関数はのようにする。そのゼロはになり、極はになるので、はNSSKになる。NSSKの存在は複雑性の源。
便利のため、まだ以下の区域を定義する：ならば、以下の定理が成立する。
（Goodman）上記の伝達関数に対しては、 システムが安定 システムが安定 （Huang）にNSSKがない時、伝達関数は安定する必要十分条件は以下二組の条件を同時に満たすこと： 組I：
組II：
（Strintzis）にNSSKがない時、因果的伝達関数は安定する必要十分条件は しかも しかも
（DeCarlo, Murray and Saeks）にNSSKがない時、因果的伝達関数は安定する必要十分条件は しかも
関連項目
巡回行列 周波数特性 インパルス応答 システム解析
注
注釈
出典
参考文献
LTIシステム
ラプラス変換