分解体

抽象代数学において、与えられた多項式の分解体（ぶんかいたい、）とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうちが最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。

定義体上の多項式の（最小）分解体とは、の拡大であって、においてが一次因子の積

に分解され、なおかつが根たちによって上生成されるときに言う。したがって拡大体は、を分解するの拡大体の中で、が最小のものになる。そのような分解体の存在と同型を除く一意性を証明することができる。そのような同型の取り方の自由度は、多項式のガロワ群と呼ばれる（は分離的であるものとする）。

例実数体上の二次式 x2 + 1 の分解体は複素数体である。有理数体 Q 上の二次式 x − 2 の分解体は二次体である。素数 p とそのべき q = p に対して、素体 GF 上の多項式 x − x の分解体は有限体 GF である。三次方程式の例例えば、K が有理数体であり、

のとき、P(X) の分解体 L は 1 の原始立方根と 2 の立方根を含む。従って、

であり、L はの6次拡大である。ここで、

は、1 の立方根である。

その他の例標数 7 の素体 GF7 上の二次式 x2 + 1 の分解体は、位数 49 のガロア体 GF49 である。−1 は GF7 上平方根を持たないからであるすべての元の二乗を計算すればわかるが、7 は 4 を法として 1 に合同でないことからもわかる。。 GF7 上の二次式 x2 − 1 の分解体は、GF7 である。 x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) と GF7 で一次式の積に因数分解できるからである。

事実の拡大体が、上の多項式からなる適当な集合に対して、同時にそれら全ての多項式の（それを一次式の積に分解することができるという意味で）分解体となっているとき、はの正規拡大であると言う。

を含む代数閉体を固定して考えるとき、拡大の中間体で上の多項式の分解体となるものがただ一つ存在し、それはのにおける根をに全て添加して得られる体に他ならない。が複素数体の部分体ならば分解体の存在については直ちにいえるが、一般には代数閉包の存在がこの分解体に対する結果の「ある種の極限」として証明されることもしばしばであるので、循環論法を避けるためにはこれらは独立に証明されなければならない。

の分離拡大に対し、のガロワ閉包 (Galois closure) は分解体の一種で、のを含む最小のガロワ拡大を言う。そのようなガロワ閉包は各元の上の最小多項式として得られる全ての -係数多項式に対する最小分解体を含まなければならない。

分解体の構成多項式の求根は古代ギリシアの時代より重要な問題であった。しかしいくつかの多項式、例えばのようなものは実数体の範囲で考える限りにおいて根を持たない。そのような多項式に対する分解体の構成は、新たな体の中に多項式の根を求めることを可能にするものである。

構成法を体、は多項式環の -次多項式とする。多項式の上の分解体を構成する一般の過程は、体の拡大の列で、各がの新たな根を含むの拡大となっているようなものを構成することである。は高々個しか根を持たないのだから、この構成も高々段階の拡大を想定すればよい。各に対する構成は以下のようにする:

上記の剰余環の構成に用いる既約因子の取り方は任意でよいが、取り方が異なれば得られる拡大体の列は異なることに注意せよ。それにも拘らず最終的に得られる最小分解体は同型の意味で一意である。

を既約にとることで、イデアルは極大イデアルとなり、従って剰余環が実は体となることが導かれる。さらに言えば、剰余環への自然な射影は

を満たすから、はの（したがっての）根になる（根体の項も参照）。

各拡大における拡大次数は既約因子の次数に等しいから、求める拡大の次数は各拡大の次数すべての積に等しく、高々 ! である。

根体について

上記の通り、剰余環はが既約であるとき体を成す。この体の元は、およびとして、

なる形に表すことができる（を上のベクトル空間と見れば、の冪 () がその基底を与えるということ）。

つまりの各元はの次数高々の多項式と看做すことができる。の加法は多項式の加法によって、乗法はを法とする多項式の乗法で与えられる。すなわち、の積は、においてをで割った剰余によって与えられる。

剰余は多項式の長除法によって計算することができるが、もっと直接的な簡約規則によってもを直接計算することもできる。まずは体上の多項式であるから、それが最高次係数

と仮定して一般性を失わない。がの根とすれば、

であり、積のなる項は

と簡約することができる。この簡約規則を用いる例として、を有理係数多項式環として、既約多項式をとる。をの二元とすれば、による簡約規則はだから、と計算できる。

注

参考文献 Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1.

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