スツルム＝リウヴィル型微分方程式（-がたびぶんほうていしき、）とは、ジャック・シャルル・フランソワ・スツルム (1803–1855) と ジョゼフ・リウヴィル (1809–1882) に由来する以下の形の2階の実数係数斉次線形微分方程式
のことである。ここで y は関数であり、x は実数変数である。実数係数関数 p (x ) > 0, q (x ), w (x ) > 0 は予め与えられていて、 w は重み関数と呼ばれる。定数λは未定である。
y = 0 (for ∀x )は任意のλに対して()の解であるが、これを自明な解という。自明でない解が存在するかどうかはλに依存する。
予め決められた境界条件のもとで、自明でない()の解 y が存在するようなλを見つけることをスツルム＝リウヴィルの固有値問題と呼ぶ。このとき、λを固有値、y を固有関数と呼ぶ。
例
微分方程式()の左辺の形式をSturm–Liouville 形式 とか 自己随伴形式と呼ぶ。任意の形の2階の線形微分方程式
は以下のように、
Sturm–Liouville 形式に変形することができる。
たとえば ベッセル方程式
は
とSturm–Liouville 形式に変形できる。
その他の例としては、
ルジャンドルの微分方程式
エルミートの微分方程式
ラゲールの微分方程式
がある。
Sturm–Liouville 理論 p (x ) > 0, w (x ) > 0 が成り立ち、かつ、p (x ), p''' (x ), q (x ), w (x ) が有限閉区間 [a, b]で連続であり、さらに、分離された同次境界条件
を持つとき、この境界値問題をスツルム＝リウヴィル型の境界値問題という。
スツルム＝リウヴィル型の境界値問題において、以下のことが言える(Sturm–Liouville 理論): 固有値はすべて実数で、離散的な値をとる。固有値は最小値をもつが最大値は持たない。 固有値を小さい順にλ1 , λ2 , λ3 , ... と番号をつけると、固有値 λn に対応する固有関数 yn (x ) は定数倍をのぞいて実関数として一意に存在し、開区間 (a, b) にn −1 個の零点を持つ。 規格化された固有関数は、境界条件(2)(3)を満たす関数のつくるヒルベルト空間において、正規直交基底を形成する。ただし、内積は で定義される。
なお、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x'' ) が連続という条件が満たされないとき、方程式は弱い意味で成り立つ（弱解）と考えなければいけない。
関連項目 ラゲールの陪多項式 ルジャンドル陪関数 ヘルムホルツ方程式
参考文献 (Chapter 5) (see Chapter 9 for singular S–L operators and connections with quantum mechanics) 関連図書 小谷真一、俣野博：「微分方程式と固有関数展開」、岩波書店、ISBN 4-00-005874-6 (2006年6月9日).