商写像

数学における商写像（しょうしゃぞう、）、自然な全射 () あるいは標準全射 () または自然な射影 () あるいは標準射影 () は、考えている集合に適当な同値関係が与えられているとき、その各元をそれが属する同値類へ送る写像で、数学の様々な分野において生じる。圏論において商対象の概念に一般化される。

例ベクトル空間とその部分線型空間に対し、商線型空間は各に対する剰余類の全体からなる。写像を商写像と呼ぶ。より一般に群とその正規部分群に対し、剰余群は各に対する剰余類の全体からなる。やはり標準的な写像を商写像という。

どちらの例も、その基礎には同値関係が存在している。ベクトル空間の例でははちょうどとなるときとし、また群の例でも同様にとなることをで定めればよい。従ってこれらの例を以下の形に一般化することができる。集合とその上の同値関係に対し、商集合は同値類の全体の成す集合を言う。標準的な写像を商写像、あるいは自然な射影と呼ぶ。写像は全射とし、関係をと定めるとこれは同値関係（の同値核）である。このとき、写像は全単射となる。このときのもまた商写像、あるいは自然な射影と呼ばれる。位相空間上で定義された全射が与えられたとき、には商位相と呼ばれるを連続にするもっとも細かい位相が定まる。にそのような位相を入れて考えるとき、は商写像と呼ばれる

これらの例は圏論において商対象と呼ばれるものに一般化される。実はそのような商対象は、ある種の圏論的全射によって与えられる、ここに例として挙げたような商表現として理解できる。しかしながら圏論において射は必ずしも写像ではないことには注意しなければならない。

注

参考文献

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