回転行列

はユークリッド空間内における原点中心の回転変換の表現行列である。

2次元や3次元の回転は、幾何学、物理学、コンピュータグラフィックスの分野での計算に非常によく使われている。大半の応用で扱うのはこのふたつの場合だが、一般の次元でも回転行列を定義することができる。

n 次元空間における回転行列は、実数を成分とする正方行列であって、行列式が 1 の n 次直交行列として特徴づけられる：

n 次元の回転行列の全体は特殊直交群（あるいは回転群）と呼ばれる群をなす。

2次元の回転行列

2次元での定義 2次元ユークリッド空間において、原点を中心とし反時計回りに 回転する回転行列 は次で定義される：

別の表記として、行列の指数関数を用いて次のようにも定義できる：

2次元での性質 逆の回転は、回転角が −θ になるだけなので、

となる。

3次元の回転行列 各軸周りの回転 3次元空間でのx軸、y軸、z軸周りの回転を表す回転行列は、それぞれ次の通りである：

ここで回転の方向は、 はy軸をz軸に向ける方向、 はz軸をx軸に向ける方向、 はx軸をy軸に向ける方向である。

オイラー角 一般の回転行列も、これら3つの各軸周りの回転行列 の積によって得ることができるGoldstein, Poole & Safko, pp. 151-154.。 例えば、次の積

は、yxz系で表したときのオイラー角が α, β, γ であるような回転を表す。

任意の軸周りの回転 任意の回転行列は、ある軸 まわりの角度 の回転という形に表示できる（）Goldstein, Poole & Safko, p. 156.。このような回転行列はロドリゲスの回転公式により

と表示できる。また、任意のベクトル へのその作用は

と書けるGoldstein, Poole & Safko, p. 162.ここでは角度 は右手の法則に従って選んでおり、Goldstein, Poole & Safko とは反対である。。

ケーリー・クラインのパラメータ フェリックス・クラインによって考案されたケーリー・クラインのパラメータは、回転行列を4つの複素数 , , , （ただし , を満たすものとする）を用いて

と表示するものであるGoldstein, Poole & Safko, pp. 154-155.。

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目 線型代数学 四元数 オイラー角

外部リンク