傾き (数学)

数学における平面上の直線の傾き（かたむき、）あるいは勾配（こうばい、）は、その傾斜の具合を表す数値である。ただし、鉛直線に対する傾きは定義されない。一般的な用語として水平は傾いているとは言われないが、数学では「傾き０」とされ水平も傾きに含まれる。

傾きは普通、直線上の2点間の変化の度合い、すなわち の変化量に対する の変化量の比率として定義される。また、同値な定義として、傾き は傾斜角を として

と書くことができる。

曲線上の微分可能な1点に対しても、傾斜の具合を表す数値（微分係数）が、傾きの考え方により定義できる。

傾きの概念は、地理学および土木工学における斜度や勾配（たとえば道路など）に直接応用される。

定義 平面上の直線の傾きは、座標の増加量に対する 座標の増加量の比率と定義される。式で書けば、直線の傾き は

で記述される。ここで、ギリシア文字 "Δ"（デルタ）は、数学において「増加量」や「増分」を表す符牒としてよく用いられる。

増加量とは差のことなので、直線上の2点を任意に取り、それらを (, ), (, ) とする。このとき、 は

で求められる。

これらの等式から分かるように、鉛直線（軸に平行な直線）の傾きは、ゼロ除算となり、定義されない。

（例）

直線が2点 , を通るとする。増加量として、 に対する の増加量と考えるか、 に対する の増加量と考えるかで符号の違いが現れるが、それらの商である傾きとしてはどちらも変わらない。ここでは に対する の増加量を考える。 の増加量 Δ = 13 − 1 = 12 の増加量 Δ = 8 − 2 = 6 傾き とは、座標の増加量 Δ に対する 座標の増加量 Δ の比率のことなので、

である。

直線が2点 , を通るならば、傾きは

である。

傾斜角による記述 傾斜の度合いを表す傾きは、傾斜角と関係が深い。たとえば、傾き 1 の直線の傾斜角は 45° である。傾き −1 ならば、傾斜角を 0°～180° の範囲で考えると 135°、−90°～90° の範囲で考えると −45° である。なお、鉛直線の傾きは定義されなかったが、傾斜角は定義され、90° である。

傾斜角とは、直線と 軸の正の部分が作る角（反時計回りが正の向き）と定義される。取り得る範囲として 0° ≤ < 180° または −90° < ≤ 90° の2つの流儀がある（状況に応じて使い分ける）。

直線の傾きを 、傾斜角を とすると、2つの間には、三角法における正接函数を用いて

の関係がある。

性質 異なる2直線が平行であるための必要十分条件は、それらの傾きが等しいこと、または、傾きがともに定義されないことである。 異なる2直線が直交するための必要十分条件は、傾きの積が −1、または、傾きが 0 と定義されない場合であることである。 たとえば、傾き の直線に垂直な直線の傾きは である。 傾き m の直線と傾き m' の直線が作る角 θ は

で求められる（三角関数の加法定理）。

1次関数における傾き 傾き・切片 は の一次関数であるとする。このとき、 と には = + と表される関係があり、そのグラフは直線となる。この直線の傾きは に等しい。 （証明） = + のグラフ上の任意の2点 , を取る。, の 座標をそれぞれ , とすると、, の座標は (, + ), (, + ) である。 の増加量 = − の増加量 = ( + ) − ( + ) = − = ( − ) 傾き は、 （証明終） 1次関数 = + において、 を傾きと呼ぶのに対して、 を 切片と呼ぶ。1次関数の 切片は、グラフ（直線）が 軸と交わる点の 座標に等しい。したがって、 = + の形の方程式を「傾き・切片標準形」と呼ぶこともある。

1次関数 = + のグラフは、軸平行の直線にはなりえないことに注意が必要である。

1次関数の決定 1次関数の傾き と直線上の1点 (, ) が既知ならば、1次関数の方程式は

で与えられる（これを「点・傾き標準形」と呼ぶことがある）。

（例）

1次関数のグラフが2点 (2, 8), (3, 20) を通るとする。1次関数の傾き は

だから、直線の方程式は1点・傾き標準形で − 8 = 12( − 2) と求まる。これはつまり = 12 − 16 である。

直線の一般形 前述の通り、1次関数のグラフは全ての直線を表さない。2変数線型方程式の一般形

は全ての直線を表す。 ≠ 0 ならば、傾きが存在し、 である。

直線の切片形 の形の方程式は切片形と呼ばれる。このとき は の1次関数で、 切片が 切片が となる。この直線の傾きは である。

方向ベクトルとの関係 直線の傾きが であることは、その直線の方向ベクトルが (1, ) であることと同値である。

微分係数

曲線上の1点に対しても、そこで微分可能ならば、傾斜の具合を表す数値としての傾きが定義できる。

と を曲線上の2点間のそれぞれ 座標、座標の増加量とすると、その2点を通る直線（弦という）の傾き は

である。この2点間を狭めたときの の極限が、そこを直線として近似した傾きと考えられる。これは接線の傾きであり、微分係数と呼ばれる。場所 を変数とした

を、曲線の導関数と呼ぶ。

微分係数が定義できない例としては、次のような例がある。 三角屋根型 = || における = 0 振動型 （これは = 0 で連続である）における = 0 ワイエルシュトラス関数

関連項目 勾配 (ベクトル解析): 多変数への一般化 平面における直線の標準形 縦断勾配