ビネ・コーシーの恒等式

代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、)とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネおよびオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する、次の恒等式

のことである。ここで、は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。

かつとすれば、実数に対するが得られる。これはユークリッド空間におけるコーシー＝シュワルツの不等式を強化したものである。

証明右辺第2項を展開すると

となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。)

ビネ・コーシーの恒等式とスカラー4重積 n = 3, のとき

すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式

が得られる。（この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。）

この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば

とベクトル三重積の公式が得られる。

また、とおくと、

と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。

一般化以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である：を自然数とし、集合をと表記する。を非負整数として、を行列、を行列とする。をから個を選んだ部分集合とし、をの個の列からに含まれる添字の列を取り出して得られた行列、をの個の行からに含まれる添字の行を取り出して得られた行列とする。

行列である積の行列式は

となる。ただし、和において、は、の部分集合で要素数がのものすべてを取るとする。

特別な場合として、として

を適用すれば

となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。

脚注

参考文献

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