調和微分形式

調和微分形式（ちょうわびぶんけいしき）とは、数学において曲面上の実 1-形式 として、 とその共役 1-形式 両方が閉形式のことをいう。

解説

2-次元実解析多様体の上で定義された実 1-形式の場合を考える。さらに複素微分形式の実部となる実 1-形式を考える。ω = A dx + B dy とし、形式的に 共役 1-形式を ω* = A dy − B dx と定義する。

動機

調和微分形式は明らかに複素解析に関係している．複素数 z を実部と虚部に分けて、それぞれを x と y とし、z = x + iy とする．複素解析の観点から、ω + iω* = (A − iB)(dx + i dy) となり、従って dz がゼロに近付くとき商 は極限を取る。言い換えると、ω* は、微分（解析性）の概念に関連している。もうひとつの概念である虚数単位は、(ω*)* = −ω である（まさに i2 = −1 と同じである）。

与えられた函数 f に対し、 とする。つまり

ここに ∂ は偏微分を表す。すると、

となる。ここで注意することは はいつもゼロとは限らないことで、実際、

であり、ここに

が示される。

コーシー・リーマンの方程式

上で見たように、ω と ω* がともに閉形式のときに、1-形式 ω を 調和的 という。このことは ∂A/∂y = ∂B/∂x (ω が閉形式のとき) でかつ (ω* が閉形式のとき) であることを意味する。これらは、 のコーシー・リーマンの方程式という。普通、これらは、 の項で表すと、

となる。

結果

調和微分 (1-形式) は正確に（解析的）複素微分形式の実部に一致する。これを証明するためには、 が、 で局所的に解析函数であるときに、コーシー・リーマンの方程式を満たすことを示せばよい。もちろん、解析函数 は、何らか（すなわち ）の局所での微分である。 調和微分形式 は（局所的に）正確にラプラス方程式 の解 f の微分 df である。 が調和微分形式であれば、 もまた調和微分形式である。

関連項目 ド・ラームコホモロジー 微分形式

参考文献

森田茂之『微分形式の幾何学１』岩波書店、1996年 ISBN 4-00-010633-3 森田茂之『微分形式の幾何学２』岩波書店、1997年 ISBN 4-00-010639-2