線型代数学における行列の指数関数（ぎょうれつのしすうかんすう、; 行列乗）は、正方行列に対して定義される行列値関数で、通常の（実または複素変数の）指数関数に対応するものである。より抽象的には、行列リー群とその行列リー代数の間の対応関係（指数写像）を行列の指数函数が記述する。
概要
定義 行列に対する指数関数は、実数および複素数に対する指数関数のテイラー展開を参考にして以下のように定義される。
はとも表記する。
基本的な性質 以下、行列の定義体はもしくはとする。
ここで、は次の正方行列であり、、はの元であり、、はそれぞれ零行列、単位行列であり、はの転置行列、は（が複素行列である場合における）共役転置である。
上記の定理の最後の２性質から特に、 が交代行列ならは直交行列である。 が歪エルミート行列ならはユニタリ行列である。
具体例
対角行列 対角行列の場合は明らかに以下が成立する：
である。よって特に1行1列の行列を考えれば、行列に対する指数関数は通常の指数関数に一致する。
冪等行列 射影行列のような冪等性
が成立する行列に関しては、
のようにを計算できる。
冪零行列 冪零行列とはあるが存在して
が成立する行列の事である。このような行列に対しては明らかにを以下のように計算できる：
ジョルダン標準形による表示 行列をジョルダン標準形で表す事によりの形を具体的に求める。
ジョルダン標準形
先に進む前にジョルダン標準形について簡単に復習する。上の次の任意の正方行列に対し、適切に次の正則行列を取ると、は以下のジョルダン標準形で（ジョルダン細胞（後述）を並べる順番を除いて）一意に表す事ができる：
ここではの固有値であり、はを満たす自然数であり、は以下の形に書ける次の正方行列であり、ジョルダン細胞と呼ばれる：
ここで値の記載がない要素はである。さらに「」は以下のように定義される：
指数関数の表示 ジョルダン標準形を使うと指数関数は以下のように書き下す事ができる。
前述の冪零行列の指数関数値を使うことで上の定理を証明できる。
その他の性質
和に対する指数函数 実数（あるいはスカラー） について、通常の指数関数が を満たすことはよく知られている。同じことは可換な行列に対しても成り立つ。即ち、行列 が交換可能（）ならば
が成り立つ。しかし可換でない行列については上記の関係は成り立たない。この場合、が の計算に利用できる。
逆は一般には成り立たない。即ち、等式 は と が可換であることを意味しない。
エルミート行列について、行列指数関数の跡に関係する2つの注目すべき定理を挙げる。 は以下の定理である。
定理 () がエルミートであるとき、次の不等式が成り立つ。
ここで可換性は要求されないことに注意する。
ゴールデン–トンプソン不等式を 3つの行列に対するものに拡張できないことを示す反例が知られている。そもそもエルミート行列 に対して が実になること自体が保証されないのだが、次に示すリーブの定理（エリオット・リーブに因む）はある意味でそのような保証を与える：
定理 () 固定されたエルミート行列 について、関数
は正定値行列錐上の凹関数である。
行列の指数関数の行列式 ヤコビの公式から、任意の複素正方行列について次のが成り立つ：
計算に役立つだけでなく、上記の等式の右辺は常に非零であるから、左辺の行列式は非零 であり、したがって行列指数関数 は常に正則であることが分かる。
実行列の場合、上記の公式から写像
が全射ではないことも分かる。なぜならば、実行列について公式の右辺は常に正であるが、行列式が負の正則行列は存在するからである。このことは先に触れた複素行列の場合とは対照的である。
応用
線型微分方程式
行列の指数関数が重要であることの一つの理由として、常微分方程式系の解を求める際に使うことができることが挙げられる。以下の方程式
の解は、 を定行列として、次のように与えられる。
行列の指数関数はまた以下の様な非等質微分方程式に対しても有効である。
が定行列でないとき、
の形の微分方程式は解を閉じた形の式として陽に表すことはできないが、が無限和の形で解を与える。
連立常微分方程式の数値解法であるexponential integratorの研究においては、行列指数関数は重要視されているHochbruck and Ostermann, (2010)。
指数写像
複素行列の指数関数が常に正則行列であるということに注意する（ の逆行列は によって与えられる）。これは複素変数の指数関数が常に零でないことに対応する事実である。ゆえに、行列の指数関数 次正方行列の全体の成す空間から 次元の一般線型群（次正則行列の群）への写像
を定めている。実は、この写像は全射、すなわちどんな正則行列も何らかの行列乗として書くことができる（ここで実数体 でなく複素数体 上で考えることが本質的に利いてくる）。
2つの行列 について
が成り立つ。ここで は任意の行列ノルムである。ここから、指数写像はコンパクト部分集合 上で連続かつリプシッツ連続であることが従う。
写像
は で単位元を通る、一般線型群内の滑らかな曲線を定義する。実は
が成り立つから、これらは一般線型群のを与えている。
この曲線の 上の微分係数（あるいは接ベクトル）は
で与えられる。 での微分係数はまさに行列 であり、これはつまり がこの一径数部分群を生成することを示している。
より一般に、 に依存する生成的指数 に対して
となる。右辺の を積分記号の外へ出して、残った被積分関数をアダマールの補題を使って展開すれば、以下の有用な行列乗の微分係数の表示
が得られる。この式における係数はもとの指数函数の成分に現れているものとは異なることに注意せよ。また閉じた形の式はを参照。
指数函数の計算 一般の行列乗の計算を確度と精度を以って行うことは非常に難しく、現在においても数学、特に数値解析において重要な研究トピックの一つである。MATLABやGNU Octaveはパデ近似を使っている。 ローラン級数による評価 ケイリー・ハミルトンの定理を考えれば、次正方行列乗はその行列の高々次数 の多項式として表示できるはずである。
非零な一変数多項式 および は なるものとする。有理型函数
が整函数ならば
が成り立つ。これを示すには上記等式において を掛けて を で置き換えればよい。
さてこのような多項式 は以下のように見つけることができる（参照）。 は の根として、 は に の におけるローラン級数の主要部を掛けることで得られる。これは関連するに比例する。 が の根を亙るときの 全ての和 が所期の として取れる。他全ての は に の定数倍を加えることで得られる。特に、ラグランジュ–シルヴェスター多項式 は より次数が低くなる唯一の である。
行列の行列乗 行列の指数函数と行列の対数函数が既知であるならば、正規かつ正則な 次正方行列 と 次複素正方行列 に対して、行列の行列乗 (matrix-matrix exponential)を
と定義することができる。ここに、行列の乗法は非可換であるから、行列の行列乗も左冪 と右冪 の別が生じることに注意せよ。さらに言えば、 が正規かつ正則ならば、 と は固有値集合が一致する。 が正規かつ正則で、 が正規であり、かつ が成り立つならば、 が成り立つ。 が正規かつ正則で、 がどの2つも可換ならば、 が成り立つ。
脚注
参考文献
関連項目
行列値関数 行列の対数函数 指数関数 リー環の指数写像
リー・トロッター積公式
外部リンク
Module for the Matrix Exponential