有理根定理

有理根定理（ゆうりこんていり、）は整数係数の代数方程式

の有理数の解に対する制約を述べた定理である。有理根定理は次のような言明である：

定数項および最高次の係数がゼロでないなら、有理数解を互いに素（最大公約数が）な整数で表したとき、は以下の条件を満たす。はの約数はの約数

有理根定理は、多項式の因数分解に関するの特別な場合に当たる。また、最高次の係数がであるとき成り立つ整数根定理は、有理根定理の特別な場合である。

証明直接的な証明なる多項式を考える。互いに素なに対してを満たすことを仮定する：

から定数項を右辺へ移項し、両辺にを掛けることで以下の方程式を得る。

と括弧内の整数の積はに等しく、従ってはを割り切れることが分かる。しかしながら、とは互いに素であり、ユークリッドの補題から同様にとも互いに素であるため、は残る因数を割り切ることが示される。

から最高次の項を右辺へ移項し両辺にを掛けることで次の式を得る。

との場合と同様の理由で、は最高次の係数を割り切ることが示される。

ガウスの補題による証明多項式のすべての係数を割り切る非自明な約数がある場合、その多項式を係数の最大公約数で割った、の意味での原始多項式が得られる。この原始多項式の有理根は元の多項式と同じであり、可約条件だけが強められる。ガウスの補題によれば、ある多項式が有理係数の多項式で因数分解できるなら、整係数の多項式で因数分解することができ、原始多項式の積として表すことができる。

の 1 次の多項式が有理根を持つとき、は互いに素であるとして、その多項式の原始多項式はとなる。を因数とする整係数多項式について、最高次の係数はで割り切れ、定数項はで割り切れるので、有理根定理が得られた。

この事はより一般に、多項式の可約でない因数は整係数を持つことができ、その最高次の係数と定数項が、対応するの係数を割り切れることを示す。

例例として、方程式

のいずれの有理根も

に含まれなければならない。つまり、この方程式の根として可能なものは以下の 8 つである：

これらの候補は例えばホーナー法によってテストすることができる。今回の場合、正しい有理根は 1 つだけある。根の候補が方程式を満たさないなら、それを使って残る候補のリストを短縮できる。例えばは方程式を満たさず、方程式の左辺はになる。という置き換えをすると定数項をとし、の係数はの係数に等しいの多項式が得られる。有理根定理を適用すれば、として可能な根は

となる。従って、元の方程式の根の候補は次の通りである。

こうして得られた候補のリストと以前のリストを比較して、両者に存在しない候補は除外することができる。結局、候補のリストはに短縮される。

もし方程式の根の 1 つが発見されたなら、ホーナー法によって次の多項式の根が得られる。これらの根は、とともに、元の多項式の正確な根になっている。また、いずれの候補も根でなかった場合、方程式は有理根を持たない。定数項がゼロの方程式は有理根としてを持つ。

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