リーマンのクシー関数

数学において、リーマンのクシー関数（リーマンのクシーかんすう、）はリーマンのゼータ関数の変形で、とりわけ単純な関数等式をもつように定義される。関数はベルンハルト・リーマンに敬意を表して名づけられている。

定義 リーマンのもともとの小文字のクシー関数、 はエトムント・ランダウによって大文字のクシー に改名された（下記参照）。ランダウの小文字クシー は次のように定義されるEdmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909. Third edition Chelsea, New York, 1974, §70.： に対して

ここで はリーマンのゼータ関数を表し、 はガンマ関数である。クシーの関数等式（あるいは ）は

である。大文字のクシー は Landau (loc. cit., §71) によって

と定義され、関数等式

をもつ。Landau (loc. cit., p. 894) によって報告されているようにこの関数 はリーマンがもともと によって表記した関数である。

値 偶数に対する一般式は

である、ただし は 番目のベルヌーイ数を表す。例えば

である。

級数表現 クシー関数は級数展開

をもつ、ただし

であり、この和はゼータ関数の非自明な零点 を の順番で渡る。

この展開は においてとりわけ重要な役割を果たす。その主張は、リーマン予想はすべての正の に対して であることと同値であるというものである。

アダマール積 単純な無限積展開は

ただし は の根を走る。

展開の収束を保証するには、積は零点の "matching pairs" 上でとられなければならない、すなわち と の形の零点のペアの因子は一緒にグループされなければならない。

関連項目 与えられた数より小さい素数の個数について - クシー関数を導入したリーマンの論文

脚注

関連文献