無理回転

力学系の数学理論において、無理回転（むりかいてん、）とは、次の写像のことを言う：

但し θ は無理数である。円を R/Z、あるいは境界が貼り合わされる区間 [0, 1] と見なすと、この写像は全回転に対する割合 θ（すなわち、2πθ ラジアンのある角）による円の回転を表すことになる。θ は無理数であるので、この回転は円周群において無限の位数を持ち、写像 Tθ は周期軌道を持たない。

上の代わりに、無理回転は乗法を用いて次の写像のように表すことも出来る：

これら加法と乗法の記法の間にある関係は、群同型

である。は等長であることを示すことも出来る。

が有理数であるか無理数であるかに応じて、円周の回転には明確な区別が存在する。有理回転は、およびであればに対してになるという事実より、力学系において無理回転ほどの興味を引くものではない。であればを示すことも出来る。

意義

無理回転は、力学系の理論において基礎となる例を与える。に従うと、回転数が無理数であるような円板の向き付け保存 -微分同相写像はすべて、と位相共役である。無理回転は測度保存エルゴード変換であるが、ではない。角度がであるトーラス上のと関連する力学系に対するポアンカレ写像は、による無理回転である。無理回転に関連するC*-環は、として知られ、幅広く研究されている。

性質

が無理数であるなら、回転の下でのの元の軌道はにおいて稠密である。したがって、無理回転はである。が無理数であるなら、は一意的にエルゴード的である。無理回転および有理回転は、位相的に混合ではない。無理回転はルベーグ測度に関してエルゴード的である。無理回転は、唯一つの不変な確率測度であるルベーグ測度を伴い、一意的にエルゴード的である。を仮定する。はエルゴード的であるため、次が成り立つ。.

一般化円周回転は群の並進（group translation）の例である。からそれ自身への一般の向き付け保存同型写像に対し、位相同型写像はを満たすなら、のリフトと呼ばれる。但しである。

応用円周の回転に関する歪積（Skew product）について：1969年にウィリアム・ヴィーチ（William Veech）は、極小であるが一意にエルゴード的ではない力学系の例を次の様に構成した：「単位円周の二つのコピーを用意し、それぞれ終点が　0 となるような長さの区分を反時計回りに取る。を無理数とし、次の力学系を考える。第一の円周のある点を始点とする。軌道がに到達するまで、によって反時計回りに回転する。その後、第二の円周の対応する点に移動し、に到着するまでによって回転する。再び第一の円の対応する点に戻り、以下この手順を繰り返す。ヴィーチは、が無理数であるなら、システムは極小であるがルベーグ測度が一意にエルゴード的でないような無理数が存在することを示した」。

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