数学、とくに代数トポロジーにおいて、カップ積（）は次数 p, q の2つのから次数 p + q の新しいコサイクルを作る手法である。カップ積はコホモロジーに結合的（かつ分配的）な次数付きの可換な積演算を定義し、空間 X のコホモロジーは次数付き環 H∗(X) となる。これをコホモロジー環と呼ぶ。カップ積は1935年から1938年にJ. W. アレクサンダー、、ハスラー・ホイットニーの研究によって導入され、1944年にサミュエル・アイレンベルグによって完全なる一般性をもって導入された。
定義 特異コホモロジーにおいて、カップ積 (cup product) は位相空間 X の次数付きコホモロジー環 H∗(X) 上の積を与える構成である。
構成はまずの積から考える。cp が p-コチェインで dq が q-コチェインのとき、
とする。ここで σ は特異 (p + q) -単体で、 は頂点が によって添え字付けられている -単体の中への S によって張られた単体の標準的な埋め込みである。
インフォーマルには、 は σ の p 番目の前面であり、 は q 番目の後面である。
コサイクル cp および dq のカップ積のコバウンダリは
によって与えられる。2つのコサイクルのカップ積は再びコサイクルであり、コバウンダリとコサイクルの積は（どちらの順でも）コバウンダリである。したがってカップ積はコホモロジー上の双線型演算
を誘導する。
性質 コホモロジーのカップ積は恒等式
を満たすので対応する積は (graded-commutative) である。
カップ積は次の意味で関手的である。
が連続写像であり、
がコホモロジーに誘導された準同型であれば、
が全ての類 α, β ∈ H *(Y) に対して成り立つ。言い換えると、f * は（次数付き）環準同型である。
他の定義
カップ積と微分形式 ド・ラームコホモロジーにおいて、微分形式のカップ積はウェッジ積によって誘導される。言い換えると、2つの閉形式のウェッジ積は2つのもとのド・ラーム類のカップ積のド・ラーム類に属する。
カップ積と幾何学的交叉
滑らかな多様体の2つの部分多様体が横断的に交わるとき、その交叉は再び部分多様体である。これらの多様体の基本ホモロジー類をとることによって、これはホモロジーに双線型な積をもたらす。この積はカップ積に双対である、すなわち2つの部分多様体の交叉のホモロジー類はそれらのポワンカレ双対のカップ積のポワンカレ双対である。
同様に、絡み数は、次元を1ずらして交叉のことばで定義することもできるし、絡み目の補集合上の消えないカップ積のことばでも定義できる。
Massey積
カップ積は二項演算であるが、それを一般化して、と呼ばれる、三項やそれ以上の演算を定義できる。これは高次のであり、部分的にしか定義されない（ある三つ組に対してしか定義されない）。
関連項目 特異ホモロジー ホモロジー論 キャップ積
参考文献 James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback) Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3 Allen Hatcher, "Algebraic Topology", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0