順序環

抽象代数学において、順序環（じゅんじょかん、）は、演算と両立するような全順序が定義された（通常は可換な）環を言う。即ち、 が順序環であるとき、任意の元 に対し、以下の二つが成り立つ 。

ならば . かつ ならば .

例 順序環は算術においてなじみ深い代数系である。整数全体の成す集合 、有理数全体の成す集合 、実数全体の成す集合 はすべて通常の大小関係を順序として順序環となる (後ろの二つは順序体でもある)。それに対し複素数全体の成す集合 はいかなる順序のもとでも順序環にはならない（虚数単位 i を0以上としても0以下としても矛盾が生じるため）。

正元 実数の集合における概念のアナロジーとして、 である元 は正、 である元 を負の元と呼ぶ。 は正でも負でもないとする。

順序環 の正元全体の成す集合をしばしば と表記する。

絶対値 順序環 の任意の元 に対し、以下のように絶対値 を定めることができる。

ここで は の加法逆元である。

離散順序環 と との間に元を持たないような順序環を、離散順序環 (discrete ordered ring) と呼ぶ。整数全体の成す集合 などがその例であり、有理数全体の集合 や実数全体の集合 はそうではない。

性質 の任意の元 に対し、 かつ ならば OrdRing_ZF_1_L9。この性質を順序環の定義に用いることもある。 OrdRing_ZF_2_L5。 自明でない順序環は無限環であるord_ring_infinite。 次の: は正、 は正、あるいは OrdRing_ZF_3_L2, see also OrdGroup_decomp。この性質は順序環が加法に関してアーベル群かつ全順序群であることから導かれる。これより、 が順序環にはならないことが従う。 順序環 の正元の集合が乗法で閉じているならば、そのときに限り は零因子を持たないOrdRing_ZF_3_L3。 任意の元の2乗は非負になるOrdRing_ZF_1_L12。実際、 で であるとすると、 かつ となる。上述の性質より か のどちらかは正だから、定義の2番目の性質より も正である。

関連項目 順序群 順序体

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