数学におけるディリクレエネルギー（）は、函数がどのように変化するかを測るための概念である。より抽象的に、そのようなエネルギーはソボレフ空間 上の二次汎函数である。ディリクレエネルギーはラプラス方程式と密接に関連するもので、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレの名にちなむ。

定義

開集合 と函数 が与えられたとき、その函数 のディリクレエネルギーは次の実数で定義される：

ここで は函数 の勾配ベクトル場を表す。

性質と応用 ディリクレエネルギーは非負の量の積分なので、それ自身非負である。すなわちすべての函数 に対して E[u] ≥ 0 が成り立つ。

（適切な境界条件に対する）ラプラス方程式

を解くことは、その境界条件を満たしディリクレエネルギーを最小にするような函数 を探す変分問題を解くことと同値である。

そのような解は調和函数と呼ばれ、ポテンシャル論における研究テーマの一つである。

関連項目 ディリクレの原理

参考文献